Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Aaron |
|
||
[math]\lim\limits_{n\to+\infty}\mathop{\max}\limits_{0<x<\tfrac{\pi}{2}}\Bigl(\sqrt{n}\sin{x}\cos^n{x}\Bigl)[/math] Было интересно посмотреть ваш вариант решения. Мой не очень изящный. Последний раз редактировалось Aaron 20 апр 2010, 20:15, всего редактировалось 1 раз. |
|||
Вернуться к началу | |||
frankusef |
|
|
Фигурные скобки это взятие дробной части?
|
||
Вернуться к началу | ||
Aaron |
|
|
frankusef писал(а): Фигурные скобки это взятие дробной части? Обычные скобки. Уже исправил на обычные. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
Предложу следующее решение. Пусть А - предел функции.
Будем искать предел квадрата функции. Выполним замену: [math]\cos^2x=t[/math]. Тогда [math]A^2=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\mathop{\max}\limits_{0<t<1}\left({n\left({t^n-t^{n+1}}\right)}\right)=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left({\frac{n}{{n+1}}}\right)^{n+1}=e^{-1}[/math] [math]A=e^{-1/2}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
Prokop писал(а): Предложу следующее решение. Пусть А - предел функции. Будем искать предел квадрата функции. Выполним замену: [math]\cos^2x=t[/math]. Тогда [math]A^2=\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{\max}\limits_{0<t<1}\left(n\left(t^n-t^{n+1}\right)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=e^{-1}[/math] [math]A=e^{-1/2}[/math] Prokop, а как Вы "догадались", чему равен максимум?? Или это не надо обосновывать, т.е. очевидно? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
Как нас учили: "Очевидно то, что можно доказать".
Пришлось попыхтеть. |
|||
Вернуться к началу | |||
Aaron |
|
||
Я находил максимум с помощью неравенства Коши, но не очень изящно получилось.
А как у Вас получилось? P.S. Было бы очень интересно увидеть Ваш, Prokop, вариант. |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Видимо, я что-то не понял в формулировке (постановке) задачи. Когда я писал решение, то, естественно, максимум находил с помощью дифференциального исчисления. Но Ваши вопросы намекают на то, что производными при вычислении пределов нельзя пользоваться, например, правилом Лопиталя (шутка ).
Можно, конечно, обойтись и без производных, но, как сказал Aaron, получается не очень изящно. В моём варианте решения это выглядит так. Из очевидного неравенства (см. график логарифма) [math]\alpha\ln{a}+\beta\ln{b}\leqslant\ln\left({a\alpha+b\beta}\right)[/math], где все числа положительны и [math]\alpha+\beta=1[/math] следует [math]a^\alpha{b}^\beta\leqslant{a}\alpha+b\beta[/math]. Это неравенство точное. Равенство достигается при [math]a=b[/math]. Теперь подставим [math]b=t^{n+1}[/math], [math]\beta=\frac{n}{{n+1}}[/math], [math]\alpha=\frac{1}{{n+1}}[/math], [math]a=\left({\frac{n}{{n+1}}}\right)^{n+1}[/math]. Получим [math]t^n-t^{n+1}\leqslant\frac{{n^n}}{{\left({n+1}\right)^{n+1}}}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |