Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 20 апр 2010, 19:27 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 апр 2010, 16:11
Сообщений: 16
Откуда: Сиэтл, США
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
17 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот попался мне интересный предел:

[math]\lim\limits_{n\to+\infty}\mathop{\max}\limits_{0<x<\tfrac{\pi}{2}}\Bigl(\sqrt{n}\sin{x}\cos^n{x}\Bigl)[/math]

Было интересно посмотреть ваш вариант решения.
Мой не очень изящный.


Последний раз редактировалось Aaron 20 апр 2010, 20:15, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 20 апр 2010, 20:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 апр 2010, 19:57
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Фигурные скобки это взятие дробной части?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 20 апр 2010, 20:17 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 апр 2010, 16:11
Сообщений: 16
Откуда: Сиэтл, США
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
17 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
frankusef писал(а):
Фигурные скобки это взятие дробной части?

Обычные скобки. Уже исправил на обычные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 21 апр 2010, 21:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предложу следующее решение. Пусть А - предел функции.
Будем искать предел квадрата функции. Выполним замену: [math]\cos^2x=t[/math]. Тогда
[math]A^2=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\mathop{\max}\limits_{0<t<1}\left({n\left({t^n-t^{n+1}}\right)}\right)=\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left({\frac{n}{{n+1}}}\right)^{n+1}=e^{-1}[/math]
[math]A=e^{-1/2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 21 апр 2010, 21:18 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Предложу следующее решение. Пусть А - предел функции.
Будем искать предел квадрата функции. Выполним замену: [math]\cos^2x=t[/math]. Тогда

[math]A^2=\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{\max}\limits_{0<t<1}\left(n\left(t^n-t^{n+1}\right)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=e^{-1}[/math]
[math]A=e^{-1/2}[/math]


Prokop, а как Вы "догадались", чему равен максимум??

Или это не надо обосновывать, т.е. очевидно? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 21 апр 2010, 21:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как нас учили: "Очевидно то, что можно доказать".
Пришлось попыхтеть. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 29 апр 2010, 21:19 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 апр 2010, 16:11
Сообщений: 16
Откуда: Сиэтл, США
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
17 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я находил максимум с помощью неравенства Коши, но не очень изящно получилось.

А как у Вас получилось?

P.S. Было бы очень интересно увидеть Ваш, Prokop, вариант.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интересный предел от тригонометрического выражения
СообщениеДобавлено: 30 апр 2010, 22:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Видимо, я что-то не понял в формулировке (постановке) задачи. Когда я писал решение, то, естественно, максимум находил с помощью дифференциального исчисления. Но Ваши вопросы намекают на то, что производными при вычислении пределов нельзя пользоваться, например, правилом Лопиталя (шутка :( ).
Можно, конечно, обойтись и без производных, но, как сказал Aaron, получается не очень изящно. В моём варианте решения это выглядит так.
Из очевидного неравенства (см. график логарифма)
[math]\alpha\ln{a}+\beta\ln{b}\leqslant\ln\left({a\alpha+b\beta}\right)[/math],
где все числа положительны и [math]\alpha+\beta=1[/math]
следует
[math]a^\alpha{b}^\beta\leqslant{a}\alpha+b\beta[/math].
Это неравенство точное. Равенство достигается при [math]a=b[/math].
Теперь подставим
[math]b=t^{n+1}[/math], [math]\beta=\frac{n}{{n+1}}[/math], [math]\alpha=\frac{1}{{n+1}}[/math], [math]a=\left({\frac{n}{{n+1}}}\right)^{n+1}[/math].
Получим
[math]t^n-t^{n+1}\leqslant\frac{{n^n}}{{\left({n+1}\right)^{n+1}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Значение тригонометрического выражения

в форуме Тригонометрия

kucher

2

252

16 июн 2016, 16:52

Решение тригонометрического выражения

в форуме Тригонометрия

Belorusof

4

347

04 июн 2019, 21:01

Найти значение тригонометрического выражения

в форуме Тригонометрия

Utkonos

4

963

21 фев 2016, 10:04

Найти неопределенный интеграл тригонометрического выражения

в форуме Интегральное исчисление

plktre

12

474

08 мар 2019, 18:05

Вот, интересный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

crazymadman18

5

569

24 дек 2016, 15:19

Интересный ряд (предел-монстр)

в форуме Ряды

SzaryWilk

18

1280

05 апр 2015, 13:53

Как решить интересный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

4

468

24 сен 2015, 20:10

Вычислить предел выражения, используя 1 замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

syncedzz

7

377

13 окт 2022, 15:55

Вычислить предел выражения

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

BurnSpark

1

114

04 дек 2019, 21:18

Найти предел выражения

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

S19

11

244

12 янв 2024, 00:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved