Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Human |
|
|
2. Исследовать на сходимость ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt n}{\sqrt n}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
По первой задаче
[math]f(x)=\frac{\cos(2\pi x)}{x}[/math] Интеграл по признаку Дирихле сходится, а соответствующий ряд - гармонический. Можно придумать и неотрицательную функцию. Строим функцию, с шапочками в районе целых чисел и равную нулю в остальных точках. [math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned} & \exp \left(\frac 1{\varepsilon^2_n} + {\frac 1{x^2-\varepsilon^2_n}\right) , x \in (n-\varepsilon_n, n+\varepsilon_n) \\ & 0 \end{aligned}\right.[/math] Тогда: 1) в местах склейки производная любого порядка будет равна нулю 2) при любом целом [math]n[/math], [math]f(n)=1[/math] 3)[math]\int\limits_{-\varepsilon_n}^{\varepsilon_n} \exp \left( \frac1{\varepsilon^2_n} + {\frac 1{x^2-\varepsilon^2_n}\right)dx=\varepsilon_n \int \limits_{-1}^{1} \exp \frac {-(\frac {y}{\varepsilon_n})^2}{1-y^2}dy< 2 \varepsilon_n[/math] (здесь сделали замену [math]x=\varepsilon_n y[/math]) А значит, взяв [math]\varepsilon_n=\frac 1{n^2}[/math], получим, что [math]\int\limits_1^{\infty}f(x)\,dx < \infty[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Human |
||
Human |
|
|
swan
Спасибо за ответ! Да, я как-то не сообразил, что у первой задачи такой простой ответ. Я сам в качестве примера привел [math]\cos2\pi x^2[/math]. swan писал(а): Можно придумать и неотрицательную функцию. Строим функцию, с шапочками в районе целых чисел и равную нулю в остальных точках. [math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned} & \exp \left(\frac 1{\varepsilon^2_n} + {\frac 1{x^2-\varepsilon^2_n}\right) , x \in (n-\varepsilon_n, n+\varepsilon_n) \\ & 0 \end{aligned}\right.[/math] Тоже хороший пример. Только вместо [math]x^2[/math] должно быть [math](x-n)^2[/math]. Ну, надеюсь, что хоть вторая задача не окажется настолько простой |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Вторая задача простотой не отличается. Ряд явно расходится. Собака зарыта в функции [math]\sin {\sqrt{n}}[/math]. Это все более и более растягивающаяся по горизонтали синусоида. При бесконечном n имеют место бесконечной длины гребни и впадины. А потому и сумма будет синусоидально меняться. Стабильность исключена.
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Да, ряд расходится. И да, причина в том, что интервал между нулями функции [math]\sin\sqrt x[/math] растет, причем зависимость длины интервала от, скажем, правой его границы [math]m[/math] как раз где-то порядка [math]\sqrt m[/math]. Отсюда уже недалеко и до строго доказательства.
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Это-то понятно.
[math]\sum\limits_{\pi^2(\frac16+2k)^2}^{\pi^2(\frac56+2k)^2} \frac {\sin \sqrt n}{\sqrt n}>\frac 12 \cdot \frac 1 {\pi(\frac56+2k)}\cdot \pi^2 \frac {8k}3> \frac {2\pi}3[/math] Меня другое волновало. Судя по всему, ряд ограничен, при этом, похоже, разность верхнего и нижнего пределов равна ровно 4. То есть, если брать сумму подряд идущих положительных или отрицательных членов, то в пределе она по модулю равна четырем. Вот это можно как-нибудь показать? |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
swan писал(а): Судя по всему, ряд ограничен, при этом, похоже, разность верхнего и нижнего пределов равна ровно 4. То есть, если брать сумму подряд идущих положительных или отрицательных членов, то в пределе она по модулю равна четырем. Вот это можно как-нибудь показать? Не знаю. Вы, видимо, сравнили ряд с интегралом [math]\int\limits_1^x\frac{\sin\sqrt t}{\sqrt t}\,dt=2\int\limits_1^{\sqrt x}\sin u\,du=2(\cos1-\cos\sqrt x)[/math]? Отсюда четверка? В любом случае, для решения исходного задания достаточно и того, что Вы написали выше. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Как одна из подпорок.
Но вот можно ли так обходиться с рядами? Я уже теорию давно подзабыл. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
swan писал(а): Но вот можно ли так обходиться с рядами? Я уже теорию давно подзабыл. Так напрямую - только если функция монотонно убывает. Я знаю, что для исследования асимптотики большинства рядов используют формулу Эйлера-Маклорена, но с самой формулой не сталкивался и обращаться с ней не умею Может быть, Prokop мог бы что-то сказать по Вашему вопросу. Я сам далеко не специалист. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
По поводу неожиданного (для меня) замечания swan могу лишь сказать, что предел разности между последовательными максимумами и минимумами частичных сумм ряда действительно равен четырём.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Пара задач на равномерную сходимость | 3 |
579 |
29 май 2016, 16:15 |
|
Несколько несложных задач
в форуме Теория вероятностей |
3 |
352 |
17 июн 2015, 18:13 |
|
Есть ли польза от решения несложных математических задач?
в форуме Размышления по поводу и без |
9 |
462 |
29 дек 2022, 16:01 |
|
Пара задач по ан. геометрии | 12 |
622 |
17 янв 2021, 23:10 |
|
Пара задач на доказательства
в форуме Теория вероятностей |
0 |
212 |
11 дек 2018, 11:53 |
|
Пара задач по теории вероятностей
в форуме Теория вероятностей |
13 |
881 |
10 апр 2014, 15:56 |
|
Пара задач на определение фальшивой монеты
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
14 |
588 |
27 фев 2017, 10:08 |
|
Основы финансовых вычислений (пара задач)
в форуме Экономика и Финансы |
3 |
1106 |
05 апр 2014, 13:52 |
|
Отношения, отображения и эквиваленция - пара простых задач | 3 |
218 |
10 май 2019, 10:20 |
|
Гармонические колебания (9 класс), пара простейших задач
в форуме Школьная физика |
5 |
1566 |
25 янв 2016, 16:41 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |