Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 29 окт 2015, 10:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Приведите пример бесконечно дифференцируемой на луче [math][1;+\infty)[/math] функции [math]f(x)[/math] такой, что интеграл [math]\int\limits_1^{\infty}f(x)\,dx[/math] сходится, а ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}f(n)[/math] расходится.

2. Исследовать на сходимость ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt n}{\sqrt n}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 29 окт 2015, 19:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По первой задаче

[math]f(x)=\frac{\cos(2\pi x)}{x}[/math]

Интеграл по признаку Дирихле сходится, а соответствующий ряд - гармонический.

Можно придумать и неотрицательную функцию.
Строим функцию, с шапочками в районе целых чисел и равную нулю в остальных точках.

[math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned}
& \exp \left(\frac 1{\varepsilon^2_n} + {\frac 1{x^2-\varepsilon^2_n}\right) , x \in (n-\varepsilon_n, n+\varepsilon_n) \\ & 0
\end{aligned}\right.[/math]


Тогда:
1) в местах склейки производная любого порядка будет равна нулю

2) при любом целом [math]n[/math], [math]f(n)=1[/math]

3)[math]\int\limits_{-\varepsilon_n}^{\varepsilon_n} \exp \left( \frac1{\varepsilon^2_n} + {\frac 1{x^2-\varepsilon^2_n}\right)dx=\varepsilon_n \int \limits_{-1}^{1} \exp \frac {-(\frac {y}{\varepsilon_n})^2}{1-y^2}dy< 2 \varepsilon_n[/math] (здесь сделали замену [math]x=\varepsilon_n y[/math])

А значит, взяв [math]\varepsilon_n=\frac 1{n^2}[/math], получим, что [math]\int\limits_1^{\infty}f(x)\,dx < \infty[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 30 окт 2015, 08:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan

Спасибо за ответ! Да, я как-то не сообразил, что у первой задачи такой простой ответ. Я сам в качестве примера привел [math]\cos2\pi x^2[/math].

swan писал(а):
Можно придумать и неотрицательную функцию.
Строим функцию, с шапочками в районе целых чисел и равную нулю в остальных точках.

[math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned}
& \exp \left(\frac 1{\varepsilon^2_n} + {\frac 1{x^2-\varepsilon^2_n}\right) , x \in (n-\varepsilon_n, n+\varepsilon_n) \\ & 0
\end{aligned}\right.[/math]


Тоже хороший пример. Только вместо [math]x^2[/math] должно быть [math](x-n)^2[/math].

Ну, надеюсь, что хоть вторая задача не окажется настолько простой :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 30 окт 2015, 08:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вторая задача простотой не отличается. Ряд явно расходится. Собака зарыта в функции [math]\sin {\sqrt{n}}[/math]. Это все более и более растягивающаяся по горизонтали синусоида. При бесконечном n имеют место бесконечной длины гребни и впадины. А потому и сумма будет синусоидально меняться. Стабильность исключена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 31 окт 2015, 09:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, ряд расходится. И да, причина в том, что интервал между нулями функции [math]\sin\sqrt x[/math] растет, причем зависимость длины интервала от, скажем, правой его границы [math]m[/math] как раз где-то порядка [math]\sqrt m[/math]. Отсюда уже недалеко и до строго доказательства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 31 окт 2015, 10:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это-то понятно.

[math]\sum\limits_{\pi^2(\frac16+2k)^2}^{\pi^2(\frac56+2k)^2} \frac {\sin \sqrt n}{\sqrt n}>\frac 12 \cdot \frac 1 {\pi(\frac56+2k)}\cdot \pi^2 \frac {8k}3> \frac {2\pi}3[/math]

Меня другое волновало.
Судя по всему, ряд ограничен, при этом, похоже, разность верхнего и нижнего пределов равна ровно 4.
То есть, если брать сумму подряд идущих положительных или отрицательных членов, то в пределе она по модулю равна четырем.
Вот это можно как-нибудь показать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Судя по всему, ряд ограничен, при этом, похоже, разность верхнего и нижнего пределов равна ровно 4.
То есть, если брать сумму подряд идущих положительных или отрицательных членов, то в пределе она по модулю равна четырем.
Вот это можно как-нибудь показать?


Не знаю.
Вы, видимо, сравнили ряд с интегралом [math]\int\limits_1^x\frac{\sin\sqrt t}{\sqrt t}\,dt=2\int\limits_1^{\sqrt x}\sin u\,du=2(\cos1-\cos\sqrt x)[/math]? Отсюда четверка?

В любом случае, для решения исходного задания достаточно и того, что Вы написали выше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как одна из подпорок.
Но вот можно ли так обходиться с рядами? Я уже теорию давно подзабыл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 15:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Но вот можно ли так обходиться с рядами? Я уже теорию давно подзабыл.


Так напрямую - только если функция монотонно убывает. Я знаю, что для исследования асимптотики большинства рядов используют формулу Эйлера-Маклорена, но с самой формулой не сталкивался и обращаться с ней не умею :(

Может быть, Prokop мог бы что-то сказать по Вашему вопросу. Я сам далеко не специалист.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пара несложных задач на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2015, 10:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу неожиданного (для меня) замечания swan могу лишь сказать, что предел разности между последовательными максимумами и минимумами частичных сумм ряда действительно равен четырём.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пара задач на равномерную сходимость

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

3

579

29 май 2016, 16:15

Несколько несложных задач

в форуме Теория вероятностей

Anna Ondo

3

352

17 июн 2015, 18:13

Есть ли польза от решения несложных математических задач?

в форуме Размышления по поводу и без

searcher

9

462

29 дек 2022, 16:01

Пара задач по ан. геометрии

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Ashan

12

622

17 янв 2021, 23:10

Пара задач на доказательства

в форуме Теория вероятностей

math_help_pls

0

212

11 дек 2018, 11:53

Пара задач по теории вероятностей

в форуме Теория вероятностей

qant

13

881

10 апр 2014, 15:56

Пара задач на определение фальшивой монеты

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

chevalier

14

588

27 фев 2017, 10:08

Основы финансовых вычислений (пара задач)

в форуме Экономика и Финансы

Sigfrid

3

1106

05 апр 2014, 13:52

Отношения, отображения и эквиваленция - пара простых задач

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

LakushaFujin

3

218

10 май 2019, 10:20

Гармонические колебания (9 класс), пара простейших задач

в форуме Школьная физика

Coil

5

1566

25 янв 2016, 16:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved