Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Геометрическое неравенство
СообщениеДобавлено: 26 июл 2015, 05:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите, что для углов [math]\alpha ; \beta ; \gamma[/math] тупоугольного треугольника справедливо двойное неравенство
[math]0<\sqrt{\sin( \alpha )}+\sqrt{\sin (\beta) }+\sqrt{\sin( \gamma )} < 1+\sqrt[4]{8}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическое неравенство
СообщениеДобавлено: 27 июл 2015, 12:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вполне несложно. Пусть для определённости угол [math]\gamma[/math] тупой. Тогда [math]\beta<\frac{\pi}2-\alpha[/math]. Отсюда, поскольку функция [math]\sqrt{\sin x}[/math] возрастает на интервале [math]\left(0;\frac{\pi}2\right)[/math], имеем:

[math]\sqrt{\sin\gamma}<1,\ \sqrt{\sin\beta}<\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)}=\sqrt{\cos\alpha}[/math]

Ну а дальше можно так:

[math](\sqrt{\sin\alpha}+\sqrt{\cos\alpha})^2=\sin\alpha+\cos\alpha+2\sqrt{\sin\alpha\cos\alpha}=\sqrt2\left(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}4\right)+\sqrt{\sin2\alpha}\right)\leqslant2\sqrt2=\sqrt8[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
andrei
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическое неравенство
СообщениеДобавлено: 27 июл 2015, 12:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да,но в задании говорится о корне четвертой степени,а не о корне квадратном.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическое неравенство
СообщениеДобавлено: 28 июл 2015, 09:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Заметим,что [math]x+y \leqslant \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}[/math],следовательно при [math]\alpha >\frac{ \pi }{ 2 }[/math]
[math]\sqrt{sin( \alpha )}+\sqrt{sin( \beta )}+ \sqrt{sin( \gamma )}<1+\sqrt{sin( \beta )}+ \sqrt{sin( \gamma )} \leqslant 1+\sqrt{2(sin( \beta) + sin( \gamma ))} \leqslant 1+\sqrt{4\left( sin\frac{ \beta + \gamma }{ 2 } \right) }<1+\sqrt{2\sqrt{2} } =1+\sqrt[4]{8}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическое неравенство
СообщениеДобавлено: 28 июл 2015, 11:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Да,но в задании говорится о корне четвертой степени,а не о корне квадратном.


Так я оценивал не само выражение, а его квадрат. Будьте внимательней.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Геометрическое распределение

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

K_A

2

225

22 июн 2017, 19:15

Геометрическое доказательство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ANASTASIAOSIK

3

318

09 сен 2014, 13:16

Геометрическое распределение

в форуме Теория вероятностей

Olivia625

5

187

05 фев 2021, 20:12

Геометрическое место точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

351w

3

249

24 ноя 2018, 10:16

Геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Sts

7

1069

27 янв 2019, 08:57

Геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Sts

4

509

22 янв 2019, 08:58

Геометрическое построение на плоскости

в форуме Геометрия

ahgel1990

1

283

24 дек 2014, 03:35

Геометрическое определение вероятности

в форуме Теория вероятностей

annivakhova

0

100

18 окт 2021, 22:39

Геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Sts

7

448

29 окт 2018, 07:49

Геометрическое место точек

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

oobarbazanoo

2

578

19 фев 2017, 14:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved