Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Плоскость
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2014, 22:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имеются три точки в трехмерном пространстве.
Требуется провести через одну из точек плоскость так, чтобы расстояние двух других точек до плоскости было h и h1.
Предполагается, что h и h1 таковы, что задача имеет решение.
Привести пример решения задачи.
P.S. Под "провести" подразумевается - записать уравнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2014, 06:30 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 827
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
317 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому:
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 29 ноя 2014, 20:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent писал(а):
Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому:
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032


Точно.Поставленная задача сводится к решенной.Забыл. :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 14 дек 2014, 13:56 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
Имеются три точки в трехмерном пространстве.
Требуется провести через одну из точек плоскость так, чтобы расстояние двух других точек до плоскости было h и h1.
Предполагается, что h и h1 таковы, что задача имеет решение.
Привести пример решения задачи.
P.S. Под "провести" подразумевается - записать уравнение.

Dotsent писал(а):
Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому:
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032

А уравнений я там не нашёл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 14 дек 2014, 14:25 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами [math](x_o,y_o,z_o)[/math]:
[math]A(x-x_o)+B(y-y_o)+C(z-z_o)=0[/math]

Предполагаем (удобства ради), что: [math]A^2+B^2+C^2=1[/math]

Расстояние от точки (с координатами [math](x_1,y_1,z_1)[/math]) до этой плоскости:
[math]h1=\left|A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)+C(z_1-z_o)\right|[/math]
И для второй точки:
[math]h2=\left|A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)+C(z_2-z_o)\right|[/math]

Разрешая систему уравнений:
[math]\left\{ \begin{gathered}
A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)+C(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)+C(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2
\end{gathered}\right[/math]

получим (в общем случае) до четырёх решений.
Решением являются значения коэффициентов [math]A,\ B,\ C[/math], сумма квадратов которых равна единице.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 14 дек 2014, 19:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Masterov, в системе два уравнения, а неизвестных три :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 14 дек 2014, 22:04 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
Masterov, в системе два уравнения, а неизвестных три :(

Третье уравнение: Сумма квадратов равна единице.

Я сказал словами, но правильнее было бы записать так:
[math]\left\{ \begin{gathered}
A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)+C(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)+C(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2\\A^2+B^2+C^2=1
\end{gathered}\right[/math]


Или:
[math]\left\{ \begin{gathered}
A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2
\end{gathered}\right[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 14 дек 2014, 22:25 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как решать систему:
[math]\left\{ \begin{gathered}
A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2
\end{gathered}\right[/math]


Я бы так стал делать:
Сначала уменьшим число букв (для удобства):
[math]\left\{ \begin{gathered}
AX_1+BY_1\pm\sqrt{1-A^2-B^2}Z_1\ =\ \pm h_1\\\ AX_2+BY_2\pm\sqrt{1-A^2-B^2}Z_2\ =\ \pm h_2
\end{gathered}\right[/math]


Потом избавимся от корня:
[math]\left\{ \begin{gathered}
(1-A^2-B^2)Z_1^2\ =(\pm h_1-AX_1-BY_1)^2\\(1-A^2-B^2)Z_2^2\ =(\pm h_2-AX_2-BY_2)^2
\end{gathered}\right[/math]


Поделим одно уравнение на другое и извлечём корень:
[math]\frac{Z_1}{Z_2}=\pm\frac{\pm h_1-AX_1-BY_1}{\pm h_2-AX_2-BY_2}[/math]


[math]\pm h_2Z_1-AX_2Z_1-BY_2Z_1=\pm(\pm h_2Z_2-AX_2Z_2-BY_2Z_2)[/math]


[math]\pm AX_2Z_2-AX_2Z_1\pm BY_2Z_2-BY_2Z_1=\pm h_2Z_2\pm h_2Z_1[/math]


[math]A=\frac{\pm h_2Z_2\pm h_2Z_1-B(\pm Y_2Z_2-Y_2Z_1)}{\pm X_2Z_2-X_2Z_1}[/math]
Это нужно подставить в одно из уравнений (в любое из двух)
в системе уравнений, записанной третьей с начала.
Оттуда найдёте B
Зная B - найдёте A.
Знай A и B - найдёте C.


Больше десяти лет не делал ничего такого.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Плоскость
СообщениеДобавлено: 19 дек 2014, 18:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Masterov писал(а):
Dotsent писал(а):
Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому:
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032

А уравнений я там не нашёл.

Уравнения там были, но из-за «серьёзного сбоя на сервере» все мои сообщения до 05.12.2014 пропали.
Модераторы обещали восстановить, а пока попробую восстановить своё алгебраическое решение, заодно приведу вывод формул…

Задача:
Найти плоскость, проходящую через точку P(x,y,z) и касающуюся сфер с центрами O1(x1,y1,z1), O2(x2,y2,z2) и радиусами R1, R2.

Решение:
Плоскость можно задать точкой, через которую она проходит и вектором нормали.
Точка P известна, осталось найти вектор нормали [math]\overline N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {xN} \\ {yN} \\ {zN} \end{array}} \right)[/math].
Рассмотрим сечение (см. рисунок 1) плоскостью, проходящей через точку P, центр сферы O1 и точку T1 касания сферы с искомой плоскостью.
Изображение
Рисунок 1

Вектор нормали [math]\overline N[/math] к плоскости будем считать единичным:
[math]\overline N \cdot \overline N = x{N^2} + y{N^2} + x{N^2} = 1[/math] (1) и направленным от точки касания к центру сферы.

Условие перпендикулярности векторов [math]\overline {PT1} ,\;\overline N[/math] дает:
[math]\overline {PT1} \cdot \overline N = \left( {\overline {PO1} - \overline N \cdot R1} \right) \cdot \overline N = \overline {PO1} \cdot \overline N - R1 = 0 \Rightarrow \overline {PO1} \cdot \overline N = R1[/math]
или [math](x1 - x) \cdot xN + (y1 - y) \cdot yN + (z1 - z) \cdot zN = R1[/math] (2)

Тоже справедливо и по отношению к другой сфере:
[math](x2 - x) \cdot xN + (y2 - y) \cdot yN + (z2 - z) \cdot zN = R2[/math] (3)
Получили систему из трех уравнений (1), (2), (3) и трех неизвестных координат вектора [math]\overline N[/math].

Геометрически решение этой системы сводится к нахождению точек пересечения единичной сферы с центром в начале координат, задаваемой уравнением (1) и прямой p на пересечении плоскостей, задаваемых уравнениями (2) и (3).
Отталкиваясь от геометрического представления, решим систему за 3 шага:
1 Найдём направляющий вектор прямой p на пересечении плоскостей (2) и (3):
[math]\overline V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {xV} \\ {yV} \\ {zV} \end{array}} \right) = \overline {PO1} \times \overline {PO2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {y1 - y} \right) \cdot \left( {z2 - z} \right) - \left( {y2 - y} \right) \cdot \left( {z1 - z} \right)} \\ {\left( {x2 - x} \right) \cdot \left( {z1 - z} \right) - \left( {x1 - x} \right) \cdot \left( {z2 - z} \right)} \\ {\left( {x1 - x} \right) \cdot \left( {y2 - y} \right) - \left( {x2 - x} \right) \cdot \left( {y1 - y} \right)} \end{array}} \right)[/math]

2 Найдём ближайшую к центру единичной сферы точку H прямой p, то есть основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Координаты точки H удовлетворяют системе линейных уравнений:
[math]\left\{ \begin{gathered} xH \cdot xV + yH \cdot yV + zH \cdot zV = 0 \hfill \\ xH \cdot (x1 - x) + yH \cdot (y1 - y) + zH \cdot (z1 - z) = R1 \hfill \\ xH \cdot (x2 - x) + yH \cdot (y2 - y) + zH \cdot (z2 - z) = R2 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

3 Направляющий вектор косинусов – искомую нормаль [math]\overline N[/math] (вернее два вектора - каждый соответствует разным знакам перед радикалом) вычисляем по формуле: [math]\overline N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{xH} \\ {yH} \\ {zH} \end{array}} \right) \pm \sqrt {1 - x{H^2} - y{H^2} - z{H^2}} \cdot \frac{{\overline V }}{{\overline {\left| V \right|} }} = \overline H \pm \sqrt {1 - \overline H \cdot \overline H } \cdot \frac{{\overline V }}{{\overline {\left| V \right|} }}[/math].

Рисунок, чтобы было понятно, откуда появилась последняя формула:
Изображение
Рисунок 2 – Сечение единичной сферы плоскостью, проходящей через её центр и прямую p.

Заметим, что меняя знаки радиуса исходных сфер, можно менять способы касания сфер с плоскостью:
- если радиусы сфер имеют один и тот же знак, то алгебраическое решение даст две плоскости такие, что касающиеся с ними сферы будут по одну сторону от плоскостей;
- если знаки радиусов противоположны, то сферы будут по разные стороны от плоскостей.
Если радиус какой-либо сферы отрицателен, то нормаль будет направлена от центра сферы к точке касания.

Практические вычисления (код написан для точного калькулятора http://preccalc.sourceforge.net/):
/*Задание центров и радиусов сфер*/
P=(1,2,3);O1=(2,5,10);O2=(4,6,-7);R1=1;R2=2;
ext=2;/*Число пар решений*/
/*Расчет нормали к плоскости, задаваемой точками P,O1,O2*/
V=(O1-P)vert(O2-P);
LB1:
print "Нормали к двум плоскостям касания и соответствующие им точки касания. Способ касания",3-ext;
H=solve(V,0\O1-P,R1\O2-P,R2);L=sqrt(1-H*H);
print "N1=",N1=H+L*V/abs V;
print "T11=",T11=O1-N1*R1;
print "T12=",T12=O2-N1*R2;
print "N2=",N2=H-L*V/abs V;
print "T21=",T21=O1-N2*R1;
print "T22=",T22=O2-N2*R2;
print;
if(ext--,R2=-R2,goto LB2);
goto LB1;
LB2:


Результаты расчета:
Нормали к двум плоскостям касания и соответствующие им точки касания. Способ касания 1
N1= (-0.645229092169111, 0.758656928573145, -0.0901059562214751)
T11= (2.64522909216911, 4.24134307142685, 10.0901059562215)
T12= (5.29045818433822, 4.48268614285371, -6.81978808755705)
N2= (0.991895758835777, -0.116358077998433, 0.0510254964513601)
T21= (1.00810424116422, 5.11635807799843, 9.94897450354864)
T22= (2.01620848232845, 6.23271615599687, -7.10205099290272)

Нормали к двум плоскостям касания и соответствующие им точки касания. Способ касания 2
N1= (-0.905024084443125, 0.414754252029946, 0.0943944754790409)
T11= (2.90502408444313, 4.58524574797005, 9.90560552452096)
T12= (2.18995183111375, 6.82950850405989, -6.81121104904192)
N2= (0.825024084443125, -0.50992666582305, 0.243536559003718)
T21= (1.17497591555687, 5.50992666582305, 9.75646344099628)
T22= (5.65004816888625, 4.9801466683539, -6.51292688199256)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Шар и плоскость

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

azazan1234

3

392

31 окт 2017, 19:19

Наклонная плоскость

в форуме Школьная физика

MuCTeP_TTP0

13

233

21 окт 2023, 11:30

Комплексная плоскость

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

PLVKA_

1

185

15 дек 2020, 11:02

Комплексная плоскость

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

cuttheknot

5

458

17 мар 2018, 14:11

Прямая и плоскость

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Killandcry34

2

199

19 дек 2019, 10:30

Плоскость Лобачевского

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

darkhorseforyou

0

296

23 дек 2014, 16:50

Касательная плоскость

в форуме Дифференциальное исчисление

w0nna

4

292

29 май 2022, 15:33

Касательная плоскость

в форуме Дифференциальное исчисление

w0nna

1

129

29 май 2022, 13:11

Касательная плоскость

в форуме Дифференциальное исчисление

searcher

2

363

27 ноя 2016, 12:34

Задачи на плоскость

в форуме Геометрия

Karina3010

1

550

05 ноя 2016, 17:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved