Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
vvvv |
|
|
Требуется провести через одну из точек плоскость так, чтобы расстояние двух других точек до плоскости было h и h1. Предполагается, что h и h1 таковы, что задача имеет решение. Привести пример решения задачи. P.S. Под "провести" подразумевается - записать уравнение. |
||
Вернуться к началу | ||
Dotsent |
|
|
Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому:
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032 |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
Dotsent писал(а): Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032 Точно.Поставленная задача сводится к решенной.Забыл. |
||
Вернуться к началу | ||
Masterov |
|
|
vvvv писал(а): Имеются три точки в трехмерном пространстве. Требуется провести через одну из точек плоскость так, чтобы расстояние двух других точек до плоскости было h и h1. Предполагается, что h и h1 таковы, что задача имеет решение. Привести пример решения задачи. P.S. Под "провести" подразумевается - записать уравнение. Dotsent писал(а): Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032 А уравнений я там не нашёл. |
||
Вернуться к началу | ||
Masterov |
|
|
Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами [math](x_o,y_o,z_o)[/math]:
[math]A(x-x_o)+B(y-y_o)+C(z-z_o)=0[/math] Предполагаем (удобства ради), что: [math]A^2+B^2+C^2=1[/math] Расстояние от точки (с координатами [math](x_1,y_1,z_1)[/math]) до этой плоскости: [math]h1=\left|A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)+C(z_1-z_o)\right|[/math] И для второй точки: [math]h2=\left|A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)+C(z_2-z_o)\right|[/math] Разрешая систему уравнений: [math]\left\{ \begin{gathered} A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)+C(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)+C(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2 \end{gathered}\right[/math] получим (в общем случае) до четырёх решений. Решением являются значения коэффициентов [math]A,\ B,\ C[/math], сумма квадратов которых равна единице. |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
Masterov, в системе два уравнения, а неизвестных три
|
||
Вернуться к началу | ||
Masterov |
|
|
vvvv писал(а): Masterov, в системе два уравнения, а неизвестных три Третье уравнение: Сумма квадратов равна единице. Я сказал словами, но правильнее было бы записать так: [math]\left\{ \begin{gathered} A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)+C(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)+C(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2\\A^2+B^2+C^2=1 \end{gathered}\right[/math] Или: [math]\left\{ \begin{gathered} A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2 \end{gathered}\right[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Masterov |
|
|
Как решать систему:
[math]\left\{ \begin{gathered} A(x_1-x_o)+B(y_1-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_1-z_o)\ =\ \pm h_1\\\ A(x_2-x_o)+B(y_2-y_o)\pm\sqrt{1-A^2-B^2}(z_2-z_o)\ =\ \pm h_2 \end{gathered}\right[/math] Я бы так стал делать: Сначала уменьшим число букв (для удобства): [math]\left\{ \begin{gathered} AX_1+BY_1\pm\sqrt{1-A^2-B^2}Z_1\ =\ \pm h_1\\\ AX_2+BY_2\pm\sqrt{1-A^2-B^2}Z_2\ =\ \pm h_2 \end{gathered}\right[/math] Потом избавимся от корня: [math]\left\{ \begin{gathered} (1-A^2-B^2)Z_1^2\ =(\pm h_1-AX_1-BY_1)^2\\(1-A^2-B^2)Z_2^2\ =(\pm h_2-AX_2-BY_2)^2 \end{gathered}\right[/math] Поделим одно уравнение на другое и извлечём корень: [math]\frac{Z_1}{Z_2}=\pm\frac{\pm h_1-AX_1-BY_1}{\pm h_2-AX_2-BY_2}[/math] [math]\pm h_2Z_1-AX_2Z_1-BY_2Z_1=\pm(\pm h_2Z_2-AX_2Z_2-BY_2Z_2)[/math] [math]\pm AX_2Z_2-AX_2Z_1\pm BY_2Z_2-BY_2Z_1=\pm h_2Z_2\pm h_2Z_1[/math] [math]A=\frac{\pm h_2Z_2\pm h_2Z_1-B(\pm Y_2Z_2-Y_2Z_1)}{\pm X_2Z_2-X_2Z_1}[/math] Это нужно подставить в одно из уравнений (в любое из двух) в системе уравнений, записанной третьей с начала. Оттуда найдёте B Зная B - найдёте A. Знай A и B - найдёте C. Больше десяти лет не делал ничего такого. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Masterov писал(а): Dotsent писал(а): Эту задачку, вроде, решили уже с полгода тому: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032 А уравнений я там не нашёл. Уравнения там были, но из-за «серьёзного сбоя на сервере» все мои сообщения до 05.12.2014 пропали. Модераторы обещали восстановить, а пока попробую восстановить своё алгебраическое решение, заодно приведу вывод формул… Задача: Найти плоскость, проходящую через точку P(x,y,z) и касающуюся сфер с центрами O1(x1,y1,z1), O2(x2,y2,z2) и радиусами R1, R2. Решение: Плоскость можно задать точкой, через которую она проходит и вектором нормали. Точка P известна, осталось найти вектор нормали [math]\overline N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {xN} \\ {yN} \\ {zN} \end{array}} \right)[/math]. Рассмотрим сечение (см. рисунок 1) плоскостью, проходящей через точку P, центр сферы O1 и точку T1 касания сферы с искомой плоскостью. Рисунок 1 Вектор нормали [math]\overline N[/math] к плоскости будем считать единичным: [math]\overline N \cdot \overline N = x{N^2} + y{N^2} + x{N^2} = 1[/math] (1) и направленным от точки касания к центру сферы. Условие перпендикулярности векторов [math]\overline {PT1} ,\;\overline N[/math] дает: [math]\overline {PT1} \cdot \overline N = \left( {\overline {PO1} - \overline N \cdot R1} \right) \cdot \overline N = \overline {PO1} \cdot \overline N - R1 = 0 \Rightarrow \overline {PO1} \cdot \overline N = R1[/math] или [math](x1 - x) \cdot xN + (y1 - y) \cdot yN + (z1 - z) \cdot zN = R1[/math] (2) Тоже справедливо и по отношению к другой сфере: [math](x2 - x) \cdot xN + (y2 - y) \cdot yN + (z2 - z) \cdot zN = R2[/math] (3) Получили систему из трех уравнений (1), (2), (3) и трех неизвестных координат вектора [math]\overline N[/math]. Геометрически решение этой системы сводится к нахождению точек пересечения единичной сферы с центром в начале координат, задаваемой уравнением (1) и прямой p на пересечении плоскостей, задаваемых уравнениями (2) и (3). Отталкиваясь от геометрического представления, решим систему за 3 шага: 1 Найдём направляющий вектор прямой p на пересечении плоскостей (2) и (3): [math]\overline V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {xV} \\ {yV} \\ {zV} \end{array}} \right) = \overline {PO1} \times \overline {PO2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {y1 - y} \right) \cdot \left( {z2 - z} \right) - \left( {y2 - y} \right) \cdot \left( {z1 - z} \right)} \\ {\left( {x2 - x} \right) \cdot \left( {z1 - z} \right) - \left( {x1 - x} \right) \cdot \left( {z2 - z} \right)} \\ {\left( {x1 - x} \right) \cdot \left( {y2 - y} \right) - \left( {x2 - x} \right) \cdot \left( {y1 - y} \right)} \end{array}} \right)[/math] 2 Найдём ближайшую к центру единичной сферы точку H прямой p, то есть основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Координаты точки H удовлетворяют системе линейных уравнений: [math]\left\{ \begin{gathered} xH \cdot xV + yH \cdot yV + zH \cdot zV = 0 \hfill \\ xH \cdot (x1 - x) + yH \cdot (y1 - y) + zH \cdot (z1 - z) = R1 \hfill \\ xH \cdot (x2 - x) + yH \cdot (y2 - y) + zH \cdot (z2 - z) = R2 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] 3 Направляющий вектор косинусов – искомую нормаль [math]\overline N[/math] (вернее два вектора - каждый соответствует разным знакам перед радикалом) вычисляем по формуле: [math]\overline N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{xH} \\ {yH} \\ {zH} \end{array}} \right) \pm \sqrt {1 - x{H^2} - y{H^2} - z{H^2}} \cdot \frac{{\overline V }}{{\overline {\left| V \right|} }} = \overline H \pm \sqrt {1 - \overline H \cdot \overline H } \cdot \frac{{\overline V }}{{\overline {\left| V \right|} }}[/math]. Рисунок, чтобы было понятно, откуда появилась последняя формула: Рисунок 2 – Сечение единичной сферы плоскостью, проходящей через её центр и прямую p. Заметим, что меняя знаки радиуса исходных сфер, можно менять способы касания сфер с плоскостью: - если радиусы сфер имеют один и тот же знак, то алгебраическое решение даст две плоскости такие, что касающиеся с ними сферы будут по одну сторону от плоскостей; - если знаки радиусов противоположны, то сферы будут по разные стороны от плоскостей. Если радиус какой-либо сферы отрицателен, то нормаль будет направлена от центра сферы к точке касания. Практические вычисления (код написан для точного калькулятора http://preccalc.sourceforge.net/): /*Задание центров и радиусов сфер*/ Результаты расчета: Нормали к двум плоскостям касания и соответствующие им точки касания. Способ касания 1 |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Шар и плоскость
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
3 |
392 |
31 окт 2017, 19:19 |
|
Наклонная плоскость
в форуме Школьная физика |
13 |
233 |
21 окт 2023, 11:30 |
|
Комплексная плоскость | 1 |
185 |
15 дек 2020, 11:02 |
|
Комплексная плоскость | 5 |
458 |
17 мар 2018, 14:11 |
|
Прямая и плоскость | 2 |
199 |
19 дек 2019, 10:30 |
|
Плоскость Лобачевского
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
296 |
23 дек 2014, 16:50 |
|
Касательная плоскость
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
292 |
29 май 2022, 15:33 |
|
Касательная плоскость
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
129 |
29 май 2022, 13:11 |
|
Касательная плоскость
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
363 |
27 ноя 2016, 12:34 |
|
Задачи на плоскость
в форуме Геометрия |
1 |
550 |
05 ноя 2016, 17:02 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: ferma-T и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |