Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Упростить сумму(разность) двух кубических корней.
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2014, 10:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2014, 09:27
Сообщений: 9
Откуда: Кинешма
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Простенькая, казалось бы, задачка, для школьника седьмого класса, но не получается почему-то.
Изображение
Разность двух кубических корней от суммы и разности двух чисел. Если числитель и знаменатель умножить на сопряженное выражение, чтобы получить в числителе разность кубов, которая равна 164, делает выражение в знаменателе ещё сложнее, нисколько не упрощает выражение. Как упростить это выражение, чтобы получить 2?

Доказать, что эта разность кубических корней равна 2, получается, только возведя обе части в куб, и выяснив, что это выражение является корнем кубического уравнения
x*x*x + 78*x - 164 = 0, как и число 2.
Но вот упростить выражение какими-то иным способом не получается.

Хотелось бы усовершенствовать алгоритм решения кубического уравнения в
программе решения кубического уравнения по формулам Кардано
чтобы программа упрощала данное выражение от суммы или разности двух кубических корней, когда это возможно.

Посоветовали разложить подкоренные выражения так, чтобы получился куб двухчлена. В данном случае это вроде бы тоже не получается.

p.S
MathType 6.9 установил, AmsLatex поставил в Preferens, но формула почему-то не отображается на форуме.
\[\sqrt[3]{{90\sqrt 3 + 82}} - \sqrt[3]{{90\sqrt 3 - 82}}\]
[math]\[\sqrt[3]{{90\sqrt 3 + 82}} - \sqrt[3]{{90\sqrt 3 - 82}}\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Упростить сумму(разность) двух кубических корней.
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2014, 11:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первая и вторая формулы противоречат друг другу.
Общий метод решения таких задач.
!) приравнять все выражение к х.
2)возвести все в куб,
3)произвести вычисления и получим уравнение [math]x^3+78x-164=(x-2)(x^2+2x+82)=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
vfomin
 Заголовок сообщения: Re: Упростить сумму(разность) двух кубических корней.
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2014, 11:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vfomin писал(а):
Посоветовали разложить подкоренные выражения так, чтобы получился куб двухчлена. В данном случае это вроде бы тоже не получается.
Получается, подкоренные выражения [math](3\sqrt 3+1)^3[/math] и [math](3\sqrt 3-1)^3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
vfomin
 Заголовок сообщения: Re: Упростить сумму(разность) двух кубических корней.
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2014, 12:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2014, 09:27
Сообщений: 9
Откуда: Кинешма
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Общий метод решения таких задач.
!) приравнять все выражение к х.
2)возвести все в куб,
3)произвести вычисления и получим уравнение [math]x^3+78x-164=(x-2)(x^2+2x+82)=0[/math]


Спасибо. Именно до такого метода я и додумался, но мне он не нравится. Надо будет потом искать рациональные корни кубического уравнения, числитель которых делит свободный член, а знаменатель делит старший член, то есть перебором. Я поищу другой общий метод упрощения таких выражений и попробую реализовать его программным путём.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Упростить сумму(разность) двух кубических корней.
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2014, 12:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2014, 09:27
Сообщений: 9
Откуда: Кинешма
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
vfomin писал(а):
Посоветовали разложить подкоренные выражения так, чтобы получился куб двухчлена. В данном случае это вроде бы тоже не получается.
Получается, подкоренные выражения [math](3\sqrt 3+1)^3[/math] и [math](3\sqrt 3-1)^3[/math]


Да, очень печально, что я так не сообразителен, так туп, что не догадался самостоятельно.

Вот один человек догадался, но это не я.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Упростить сумму(разность) двух кубических корней.
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2014, 13:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vfomin писал(а):
Спасибо. Именно до такого метода я и додумался, но мне он не нравится. Надо будет потом искать рациональные корни кубического уравнения, числитель которых делит свободный член, а знаменатель делит старший член, то есть перебором. Я поищу другой общий метод упрощения таких выражений и попробую реализовать его программным путём.

А зачем вам нужны комплексные корни?
Там же ясно видно, что [math]x-2=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Упростить сумму(разность) двух кубических корней.
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2014, 14:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2014, 09:27
Сообщений: 9
Откуда: Кинешма
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
А зачем вам нужны комплексные корни?
Там же ясно видно, что [math]x-2=0[/math]

Просто я хочу реализовать упрощение таких выражений в своей программе, решающей кубические уравнения.
Пока что она выдаёт такую вот сумму кубических корней, а рациональные корни кубического уравнения ищет отдельно, до того, как решать уравнение по формулам Кардано, причём, чтобы браузер надолго не зависал, стоит ограничение на поиск рациональных корней для уравнений, коэффициенты которых или сумма модулей коэффициентов превышают число 9007199254740992
Я работаю сейчас также над программой решения алгебраического уравнения четвёртой степени, и там в решение требуется подстановка положительного корня кубического уравнения.
Метод решения уравнения четвёртой степени.
Не хочется искать ещё этот рациональный корень кубического уравнения, когда он есть, а хочется найти общий метод упрощения всех таких выражений и реализовать его в программе. К тому же нередко коэффициенты получающегося кубического уравнения выходят за допустимую границу возможного поиска рациональных корней.

Например, для уравнения четвёртой степени
4797901 x^4 - 22773959 x^3 + 39478601 x^2 - 29617729 x + 8098290 = 0
которое имеет четыре рациональные корня
x1 = 34 / 31
x2 = 45 / 37
x3 = 67 / 89
x4 = 79 / 47
при решении его путём разложения на два квадратных уравнения получается кубическое уравнение
6245650182942191406887632473013235167949312 x^3 - 1378429159294518501203567013621636484802240 x^2 + 72498251865275096114238859915074768868952 x - 127428378457131557539071340308106955625 = 0
Боюсь, что браузер зависнет надолго, если искать рациональные корни уравнения с такими большими коэффициентами по правилу: числитель корня делит свободный член, а знаменатель - старший коэффициент, разность между числителем и знаменателем делит значение многочлена в точек 1, а сумма числителя и знаменателя - значение многочлена в точке -1.
Поэтому хотелось бы найти общий метод упрощения таких выражений.
Но в данном частном случае - это несколько другая задача.
Надо будет упростить, если можно, выражение
2 / 14393703 * sqrt(319655857837) * cos(1/3 * arccos(-55518593415902765 / 102179867449508354318569 * sqrt(319655857837))) + 40644271869035 / 552476496139224
Но часто приходится упрощать и сумму (разность) двух кубических корней.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти сумму квадратов и сумму кубов корней уравнения

в форуме Теория чисел

Olenka_S

2

934

13 фев 2016, 13:40

Разность двух дробей

в форуме Алгебра

Elisteriya

1

417

30 июн 2015, 19:51

Сумма и разность двух взаимнопростых чисел

в форуме Алгебра

argus

2

408

05 ноя 2017, 02:22

Доказать,что разность двух б.м. имеет 2-й порядок малости

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mayer

1

626

11 окт 2015, 18:00

Найти сумму корней

в форуме Алгебра

morozoff

18

838

10 окт 2018, 10:50

Найти сумму корней уравнения

в форуме Алгебра

alekscooper

1

290

08 фев 2019, 23:43

Найти сумму от корней уравнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ahgel1990

37

2569

29 янв 2015, 03:05

Найти сумму корней уравнения

в форуме Алгебра

ulukma

4

732

02 июл 2014, 15:48

Найдите сумму корней уравнения

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Germanhart

7

1400

23 дек 2014, 01:00

Найдите сумму целых корней уравнения

в форуме Алгебра

Apropl

4

283

16 дек 2018, 20:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved