Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача о четырех кубах
СообщениеДобавлено: 16 апр 2013, 22:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я уже выступал на форуме с целочисленным уравнением Эйлера:

[math]x^3+y^3+z^3=w^3[/math]

То, что имеются миллиарды решений, было известно 250 лет назад. Великие и слабые математики пытались найти универсальные формулы, по которым, подобно пифагоровым тройкам, вычислялись бы все-все решения. Частные бесконечные серии находили: Эйлер, Бине, Морделл, Лабковский, Рамануджан, Лемер, Харди, Райт и другие. Самую прекрасную серию, на мой взгляд, получил Рамануджан:
[math]x=3a^2+5ab-5b^2[/math]
[math]y=5a^2-5ab-3b^2[/math]
[math]z=4a^2-4ab+6b^2[/math]
[math]w=6a^2-4ab+4b^2[/math]
Еще в студенческие годы мне удалось найти редкую книгу, в которой описывалось, как он пытался развить данное направление путем поиска иных числовых коэффициентов. Но увы, никаких других вариантов не выудил.
В 1969 году при помощи огромных ламповых ЭВМ мне посчастливилось сдвинуться с мертвой точки и я нашел несколько новых решений. Тут нужно отметить тот факт, что данную задачу можно решать только в лоб, то есть производить перебор всех чисел до технически реального предела. Тогда моим пределом было число 100. То есть максимальное значение коэффициента не больше ста. Иначе считать приходилось бы месяцы.
Совсем недавно, я на порядок увеличил диапазон параметров. И при максимуме 1000 выявил двенадцать серий рамануджановского типа:
Изображение
В первом квадрате - как раз решение великого индуса. Все остальные - мои.
Теперь мне стало понятно, почему Рамануджан не находил другие решения. Дело в том, что если не менять структуру формул и сохранять относительность величин параметров, то его решение единственное. Я обсчитывал все числа вплоть до 5000, но все оказалось тщетно. Хотя, кто его знает? Но можно ли теоретически или умозрительно доказать сей постулат о единственности?. Вот мой вопрос.
Мои варианты - это три иные схемы соотношений величин коэффициентов. И для этих трех схем число вариантов, по всей видимости, неограничено. Хотя и этот момент еще не доказан.
Вот такая моя тема. Извините, если много начирикал.

PS. В каждом варианте четыре числа строго взаимно простые, то есть их igcd=1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех кубах
СообщениеДобавлено: 17 апр 2013, 09:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы прояснить всю проблему, покажу на примере последнего варианта, что при любых [math]a\, , b \,[/math] будет выполняться тождество:

[math](294a^2+831ab-831b^2)^3+(831a^2-831ab-294b^2)^3+ (490a^2-895ab+895b^2)^3 =[/math]

[math]= (895a^2-895ab+490b^2)^3[/math]

Задаваясь произвольными [math]a\, , b \,[/math] , находим бесконечное множество чисел [math]x\, , y \, , \, z \, , w[/math] , удовлетворяющих уравнению Эйлера.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех кубах
СообщениеДобавлено: 17 апр 2013, 09:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7862
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7054 раз в 5486 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно мне с недельку подумать над сей задачей?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех кубах
СообщениеДобавлено: 17 апр 2013, 10:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конечно! Она стОит того! Над ней думают с 1747 года :D1
Заодно ознакомьтесь с http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%E4% ... 3%E1%E0%F5
и с http://renuar911.narod.ru/part7.htm

Рамануджановскую идею развил благодаря выявлению новых трех схем расположения числовых параметров
A<B<C<D:
Изображение

Схема же Рамануджана оказалась выполнимой только при A=3; B=4; C=5; D=6
И больше ничего не подошло, хотя я пропахал числа от 1 до 5000. Потому-то Р. и не выявил другие варианты, хотя отчаянно их искал.

Мои три схемы дали в одиннадцать раз больше решений. Чтобы их получить, мой нехилый ноутбук непрерывно работал 48 часов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех кубах
СообщениеДобавлено: 17 апр 2013, 11:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все четыре схемы - это очень красивые, но все же частные случаи. Общие схемы, наподобие таких:

Изображение

дает открытый мною генератор чисел Эйлера. Генерирует бесконечно много вариантов.
В моем рекламном листе он приведен:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача о четырех квадратах

в форуме Теория чисел

qwertyqaz

11

480

31 июл 2017, 21:59

Задача о четырёх зайцах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

2

167

16 июл 2017, 11:29

Чудесенко Задача 2 Имеются изделия четырех сортов

в форуме Теория вероятностей

dimon17115

0

66

17 июл 2018, 06:03

Система из четырех неизвестных

в форуме Алгебра

Bonaqua

6

285

24 май 2015, 02:14

Формула четырёх операций

в форуме Палата №6

california

4

92

29 окт 2018, 19:03

Коммутативность группы из четырёх элементов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

____kxkxkx____

3

69

15 ноя 2018, 17:22

Даны координаты четырех точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

karawella

3

295

26 дек 2015, 20:23

Симметрическая разность четырех множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

KiruXa

1

379

27 май 2014, 22:57

Определение диагонали произвольного четырех угольника

в форуме Геометрия

nuget

35

766

22 фев 2017, 11:25

Решение системы из четырех уравнений с тремя неизвест

в форуме Алгебра

Rectus

4

137

18 окт 2016, 22:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved