Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 16:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрел другой свой пример - не равнобедренный и общий треугольник.
Действительно, площадь его оказалась в промежутке между двойным неравеством.
То есть все верно с формулами. С чем и поздравляю.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 16:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2013, 15:41
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё! Получил подтверждение. Теорема об этих границах содержится в этой книге:
[url]http://libgen.org/search?req=recent+advances+in+geometric+inequalities&nametype=orig&column[]=title&column[]=author&column[]=series&column[]=periodical&column[]=publisher&column[]=year[/url]
Правда, мне не удаётся открыть файл по этой ссылке. Но мне послали и формулу оттуда:
[img]C:\Documents%20and%20Settings\talmon\My%20Documents\NE_files\1_167913286.gif[/img]
Я не уверен, что мне удастся показать картинку. Вобщем, там формулы имеют совершенно другой вид, но я проверил на компьютере на многих значениях R и r, и она тождественны моим выражениям.Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю TALMON "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 18:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2013, 15:41
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу достижения минимума и максимума на равнобедренных треугольниках, мне подсказали следующее соображение.

Теорема о значении d как функция от R и r имеет и обратную силу:

Если построим две окружности, для которых d удовлетворяет этой формуле, возьмём любую точку на большой окружности, проведём из неё две касательные к маленькой окружности и, наконец, соединим точки пересечения этих касательных с большой окружностью, завершая таким образом построение треугольника, вписанного в большой окружности, то и третья сторона построенного треугольника обязательно будет касать маленькую окружность!

Другими словами: Если есть треугольник, вписанная в нём окружность и описанная около него окружность, то, оставляя обе окружности как они есть, любая точка на большой окружности может служить вершиной треугольника с теми же вписанной и описанной окружностями!

При этом, двигая точку на большой окружности и используя её как одной из вершин треугольника, получаем разные треугольники, с одними и теми же вписанной и описанной окружностями, и площадь этих треугольников будет функцией (очевидно - непрерывной) от первой выбранной точки на большой окружности.

Рассмотрим диаметр большой окружности, проходящий через центр маленькой окружности. Выбирав первоначальную точку на каком-то из концов этого диаметра, получим равнобедренний треугольник (площади двух возможных таких равнобедренных треугольников я и взял в предполагаемых формулах). Так вот, два конца указанного диаметра являются центрами симметрии, и функция плошади обязательно имеет в них экстремумы!

Правда,остаётся вопрос, нет ли у функции площади других экстремумов, и где достигаются минимум и максимум.

Есть ещё и алгебраическое соображение, которое подсказал мне другой человек, и которое Вам может быть интересным, но я его ещё не обработал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 19:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2013, 15:41
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, очень интересное соображение! Попробую переварить. Дифференцируя выражение по A, у меня пока получаются другие корни квадратного уравнения для cos(A)...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 20:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
TALMON

Ваше двойное неравенство и Теорема А полностью идентичны. Проверил в символьном виде.
Но Ваша запись лучше смотрится (если занести под корень одинаковые сомножители):

[math]r\cdot \sqrt{\frac{(R-d+r)^3}{R-d-r}}\leq S\leq r\cdot \sqrt{\frac{(R+d+r)^3}{R+d-r}}[/math],

где [math]d=\sqrt{R\cdot(R-2r)}[/math] - расстояние между центрами окружностей.


Лучше смотрится потому, что в выражении минимум числовых констант. Что не скажешь о Теореме А.


Последний раз редактировалось Avgust 05 мар 2013, 20:39, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 20:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2013, 15:41
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, я получил Ваши корни для косинуса A.
Сейчас меня смущает следующее: Они получаются всегда положительными.
Хотя, впрочем, в треугольнике всегда есть острый уголь!
Другое. При фиксированных R и r, углы треугольника не могут принимать любые значения. Может ли оказаться, что найденные Вами экстремумы выходят за пределы допустимого?
Проверю сейчас опытным путём на компьютере.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 20:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формулы для углов тоже проверил. Получил углы при основаниях равнобедренных треугольников

[math]76.7^o[/math] и [math]39,7^o[/math]

Проверил через арктангенсы по габаритам на рисунке. Различие - 1-2 градуса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 21:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2013, 15:41
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust - Формулы в книге, кроме того, что в них d заменено по формуле, не содержат радикалы в знаменателе.

Li6-D - Ваши косинусы отлично работают! Я проверял на разных соотношениях r/R. Больший косинус соответствует минимуму площади, а меньший - максимуму. Здорово!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 22:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2013, 15:41
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust - Я восхищён! Вы избавились не только от знаменателей, но и от r. Это уже не мои формулы, а Ваши.

Li6-D - Жду результат Вашего исследования. А не может ли быть, что некоторые из четырёх углов совпадают?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мин. и макс. площадь тре-ника по заданным двум радиусам
СообщениеДобавлено: 05 мар 2013, 23:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 мар 2013, 15:41
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D - Прошу прощения, я не заметил, что это Вы резко улучшили формулы. У меня к Вам такой вопрос: Если хочу показать формулы в Вашей последней редакции, то каким образом могу ссылаться на Вас? Если не хотите отвечать здесь, то мой мэйл TALMON@TILINT.COM.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 3 из 5 [ Сообщений: 49 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение прямой, перпендикулярной двум заданным

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Tsvirotka

4

841

12 окт 2018, 19:50

Площадь эллипса по трём радиусам

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Vasya Pokrishkin

7

592

07 май 2021, 18:44

Площадь четырехугольника по углам и двум сторонам

в форуме Геометрия

Extraneous

4

566

14 июн 2017, 11:38

Найти макс./мин. значение выражения

в форуме Алгебра

Andrey8819

1

210

16 мар 2018, 10:18

Вычислить макс количество пересекающихся окружностей

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Nikta_Danilov

28

897

11 фев 2018, 15:43

Методы моментов,макс.правдоп.,довер.интервал

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Yukkina

0

282

28 ноя 2016, 18:08

Выберите набор из макс. кол-ва линейно независимых векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

forzi

23

1162

13 июн 2018, 08:52

Какова формула макс кпд соотношения двух чисел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

happyhorror

0

305

27 авг 2015, 02:44

Определить состоятельность оценки метода моментов, макс прав

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Val_23

2

146

14 дек 2022, 13:58

Вопросы по двум производным

в форуме Дифференциальное исчисление

alex1

2

248

13 мар 2017, 14:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved