Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 3 из 5 |
[ Сообщений: 49 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Avgust |
|
|
Действительно, площадь его оказалась в промежутке между двойным неравеством. То есть все верно с формулами. С чем и поздравляю. |
||
Вернуться к началу | ||
TALMON |
|
|
Всё! Получил подтверждение. Теорема об этих границах содержится в этой книге:
[url]http://libgen.org/search?req=recent+advances+in+geometric+inequalities&nametype=orig&column[]=title&column[]=author&column[]=series&column[]=periodical&column[]=publisher&column[]=year[/url] Правда, мне не удаётся открыть файл по этой ссылке. Но мне послали и формулу оттуда: [img]C:\Documents%20and%20Settings\talmon\My%20Documents\NE_files\1_167913286.gif[/img] Я не уверен, что мне удастся показать картинку. Вобщем, там формулы имеют совершенно другой вид, но я проверил на компьютере на многих значениях R и r, и она тождественны моим выражениям. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю TALMON "Спасибо" сказали: Avgust |
||
TALMON |
|
|
По поводу достижения минимума и максимума на равнобедренных треугольниках, мне подсказали следующее соображение.
Теорема о значении d как функция от R и r имеет и обратную силу: Если построим две окружности, для которых d удовлетворяет этой формуле, возьмём любую точку на большой окружности, проведём из неё две касательные к маленькой окружности и, наконец, соединим точки пересечения этих касательных с большой окружностью, завершая таким образом построение треугольника, вписанного в большой окружности, то и третья сторона построенного треугольника обязательно будет касать маленькую окружность! Другими словами: Если есть треугольник, вписанная в нём окружность и описанная около него окружность, то, оставляя обе окружности как они есть, любая точка на большой окружности может служить вершиной треугольника с теми же вписанной и описанной окружностями! При этом, двигая точку на большой окружности и используя её как одной из вершин треугольника, получаем разные треугольники, с одними и теми же вписанной и описанной окружностями, и площадь этих треугольников будет функцией (очевидно - непрерывной) от первой выбранной точки на большой окружности. Рассмотрим диаметр большой окружности, проходящий через центр маленькой окружности. Выбирав первоначальную точку на каком-то из концов этого диаметра, получим равнобедренний треугольник (площади двух возможных таких равнобедренных треугольников я и взял в предполагаемых формулах). Так вот, два конца указанного диаметра являются центрами симметрии, и функция плошади обязательно имеет в них экстремумы! Правда,остаётся вопрос, нет ли у функции площади других экстремумов, и где достигаются минимум и максимум. Есть ещё и алгебраическое соображение, которое подсказал мне другой человек, и которое Вам может быть интересным, но я его ещё не обработал. |
||
Вернуться к началу | ||
TALMON |
|
|
Li6-D, очень интересное соображение! Попробую переварить. Дифференцируя выражение по A, у меня пока получаются другие корни квадратного уравнения для cos(A)...
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
TALMON
Ваше двойное неравенство и Теорема А полностью идентичны. Проверил в символьном виде. Но Ваша запись лучше смотрится (если занести под корень одинаковые сомножители): [math]r\cdot \sqrt{\frac{(R-d+r)^3}{R-d-r}}\leq S\leq r\cdot \sqrt{\frac{(R+d+r)^3}{R+d-r}}[/math], где [math]d=\sqrt{R\cdot(R-2r)}[/math] - расстояние между центрами окружностей. Лучше смотрится потому, что в выражении минимум числовых констант. Что не скажешь о Теореме А. Последний раз редактировалось Avgust 05 мар 2013, 20:39, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
TALMON |
|
|
Li6-D, я получил Ваши корни для косинуса A.
Сейчас меня смущает следующее: Они получаются всегда положительными. Хотя, впрочем, в треугольнике всегда есть острый уголь! Другое. При фиксированных R и r, углы треугольника не могут принимать любые значения. Может ли оказаться, что найденные Вами экстремумы выходят за пределы допустимого? Проверю сейчас опытным путём на компьютере. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Формулы для углов тоже проверил. Получил углы при основаниях равнобедренных треугольников
[math]76.7^o[/math] и [math]39,7^o[/math] Проверил через арктангенсы по габаритам на рисунке. Различие - 1-2 градуса. |
||
Вернуться к началу | ||
TALMON |
|
|
Avgust - Формулы в книге, кроме того, что в них d заменено по формуле, не содержат радикалы в знаменателе.
Li6-D - Ваши косинусы отлично работают! Я проверял на разных соотношениях r/R. Больший косинус соответствует минимуму площади, а меньший - максимуму. Здорово! |
||
Вернуться к началу | ||
TALMON |
|
|
Avgust - Я восхищён! Вы избавились не только от знаменателей, но и от r. Это уже не мои формулы, а Ваши.
Li6-D - Жду результат Вашего исследования. А не может ли быть, что некоторые из четырёх углов совпадают? |
||
Вернуться к началу | ||
TALMON |
|
|
Li6-D - Прошу прощения, я не заметил, что это Вы резко улучшили формулы. У меня к Вам такой вопрос: Если хочу показать формулы в Вашей последней редакции, то каким образом могу ссылаться на Вас? Если не хотите отвечать здесь, то мой мэйл TALMON@TILINT.COM.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. | [ Сообщений: 49 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |