Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Бесконечное множество попарно взаимно простых
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2012, 13:29 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать, что для каждого простого [math]p[/math] существует бесконечное множество попарно взаимно простых чисел, каждое из которых имеет вид [math]p^n+p-1[/math], где [math]n\in\mathbb N[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечное множество попарно взаимно простых
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2012, 18:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечное множество попарно взаимно простых
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2012, 17:38 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот моё решение:

Множество, состоящее из одного искомого числа всегда существует. Чтобы добавить к этому множеству ещё один элемент, удовлетворяющий условию, нам [s]необходимо[/s] достаточно найти такое [math]p^n-1[/math], которое будет кратно каждому из чисел уже построенного множества. Тогда [math]p^n+p-1[/math] будет взаимно просто с каждым из элементов уже построенного множества. Такое [math]p^n-1[/math] всегда найдётся. Действительно, для любого натурального [math]m[/math], не кратного [math]p[/math], найдётся число вида [math]p^n-1[/math], кратное [math]m[/math]. Докажем это. Возьмём достаточно много (больше, чем [math]m[/math]) степеней числа [math]p[/math] с натуральными показателями. По Дирихле, две из них дадут одинаковый остаток при делении на [math]m[/math]. Иными словами, имеем [math]p^a-p^b[/math] кратно [math]m[/math]. Разделим этого звирка на [math]p[/math]. Так как [math]m[/math] не кратно [math]p[/math], снова получим [math]p^{a-1}-p^{b-1}[/math] кратно [math]m[/math]. И так далее, пока меньшая из степеней не станет единичкой. В итоге имеем [math]p^{a-b}-1[/math] кратно [math]m[/math].

Вроде так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Последовательность с попарно взаимно простыми членами

в форуме Теория чисел

Gagarin

12

931

06 май 2017, 07:43

Бесконечное множество решений

в форуме Алгебра

mjdoom2

2

335

26 мар 2016, 21:10

Ограниченное бесконечное числовое множество

в форуме Размышления по поводу и без

lanvandance

4

337

04 ноя 2018, 22:05

Метод Гаусса, Бесконечное множество решений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

iiwanc

7

512

28 янв 2018, 18:37

Суммы взаимно простых ч. 2

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

lopkityu

1

292

27 апр 2015, 21:31

Суммы взаимно простых

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

lopkityu

11

844

27 апр 2015, 03:59

Максимальное подмножество взаимно простых чисел

в форуме Теория чисел

s_e_r_g

31

1913

19 фев 2016, 21:41

Конструкция бесконечного множества взаимно простых чисел

в форуме Теория чисел

AndrejVolkov

0

283

11 апр 2019, 09:52

Помощь с доказательством свойства взаимно простых многочлено

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Mark17

4

157

19 май 2022, 22:06

Множество простых чисел и пар простых чисел-близнецов бескон

в форуме Размышления по поводу и без

korolchukvasily

2

257

28 июн 2023, 11:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved