Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: О производных
СообщениеДобавлено: 22 янв 2012, 10:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот ещё задачу придумал :) навеяло одной из тем.
[math]\lim_{x\to 0}\left(1-\frac{sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{sin(x)}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О производных
СообщениеДобавлено: 30 янв 2012, 14:45 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - \frac{{\sin x}}{x})^{\frac{1}{{\sin x}}}}[/math] не существует)

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - \frac{{\sin x}}{x})^{\frac{1}{{\sin x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - \frac{{\sin x}}{x})}}{{\sin x}}}} = \left| {\sin x \sim x} \right| = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - \frac{{\sin x}}{x})}}{x}}} = \left| \begin{gathered} 1 - \frac{{\sin x}}{x} \to 0 \hfill \\ \ln (1 - \frac{{\sin x}}{x}) \to - \infty \hfill \\ x \to 0( + 0, - 0?) \hfill \\ \end{gathered} \right| = \left\{ \begin{gathered} {e^{ - \infty }} = 0 \hfill \\ {e^{ + \infty }} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Пределы слева и справа не равны, поэтому предела в точке нет)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали:
andrei
 Заголовок сообщения: Re: О производных
СообщениеДобавлено: 30 янв 2012, 15:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Бывают необычные случаи.
Вот, например (с другого форума):
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,{e^{4n}} \cdot {\left( {\frac{{n + 1}}{{n + 5}}} \right)^{{n^2}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О производных
СообщениеДобавлено: 30 янв 2012, 18:20 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Равен [math]{e^{ - 5}}[/math], а что необычного?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О производных
СообщениеДобавлено: 30 янв 2012, 20:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, ответ другой, уже это необычно ))
Собственно, вольфрам и мэпл дают правильный ответ, e^12, а люди, как правило, ошибаются.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О производных
СообщениеДобавлено: 31 янв 2012, 19:52 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{4n}}*{(\frac{{n + 1}}{{n + 5}})^{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{4n + {n^2}\ln (\frac{{n + 1}}{{n + 5}})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{{n^2}(\frac{4}{n} + \ln (\frac{{n + 1}}{{n + 5}}))}} = \exp \{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{4}{n} + \ln (\frac{{n + 1}}{{n + 5}})}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}}\} = \left| {\frac{0}{0}} \right| = \hfill \\ = \exp \{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{{\frac{{n + 5 - n - 1}}{{{{(n + 5)}^2}}}}}{{\frac{{n + 1}}{{n + 5}}}}}}{{ - \frac{2}{{{n^3}}}}}\} = \exp \{ 4\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{ - 6n - 5}}{{{n^2}({n^2} + 6n + 5)}}}}{{ - \frac{2}{{{n^3}}}}}\} = \exp \{ 4\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n(6n + 5)}}{{2({n^2} + 6n + 5)}}\} = {e^{12}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Хм, и правда) Ошибкой было применение замечательного предела, где его нет на самом деле, ведь весь предел не есть единица в бесконечности)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: О производных
СообщениеДобавлено: 07 фев 2012, 04:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2719
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
835 раз в 668 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Лучше не Лопиталем, а Тейлором - короче будет:

[math]4n+n^2\ln\left(1-\frac{4}{n+5}\right)=4n-n^2\left(\frac{4}{n+5}+\frac{8}{(n+5)^2}+o(n^{-2})\right)=\frac{20n}{n+5}-\frac{8n^2}{(n+5)^2}+o(1)\longrightarrow 20-8=12.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
neurocore, valentina
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Насчет производных

в форуме Дифференциальное исчисление

New user

3

199

13 май 2020, 11:50

ДУ в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Sever

1

239

23 мар 2019, 20:01

ДУ в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Smehota

5

232

19 мар 2022, 01:20

Применение производных

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Grach

1

259

27 апр 2020, 01:33

Свойства частных производных

в форуме Дифференциальное исчисление

DucAnh456

1

217

10 окт 2018, 21:40

Задача в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fisher74

5

471

09 дек 2014, 22:04

Уравнения в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fisher74

26

1797

09 ноя 2014, 00:33

Производные от производных и прочее

в форуме Численные методы

crazymadman18

0

161

17 мар 2019, 14:49

Найти 4 частных производных

в форуме Дифференциальное исчисление

Revan

1

304

03 апр 2015, 19:46

Какое решение будет у производных?

в форуме Дифференциальное исчисление

olga_budilova

1

268

28 дек 2014, 19:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 3axap и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved