Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
andrei |
|
|
[math]\lim_{x\to 0}\left(1-\frac{sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{sin(x)}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - \frac{{\sin x}}{x})^{\frac{1}{{\sin x}}}}[/math] не существует)
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - \frac{{\sin x}}{x})^{\frac{1}{{\sin x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - \frac{{\sin x}}{x})}}{{\sin x}}}} = \left| {\sin x \sim x} \right| = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - \frac{{\sin x}}{x})}}{x}}} = \left| \begin{gathered} 1 - \frac{{\sin x}}{x} \to 0 \hfill \\ \ln (1 - \frac{{\sin x}}{x}) \to - \infty \hfill \\ x \to 0( + 0, - 0?) \hfill \\ \end{gathered} \right| = \left\{ \begin{gathered} {e^{ - \infty }} = 0 \hfill \\ {e^{ + \infty }} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] Пределы слева и справа не равны, поэтому предела в точке нет) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали: andrei |
||
Shaman |
|
|
Бывают необычные случаи.
Вот, например (с другого форума): [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,{e^{4n}} \cdot {\left( {\frac{{n + 1}}{{n + 5}}} \right)^{{n^2}}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
Равен [math]{e^{ - 5}}[/math], а что необычного?)
|
||
Вернуться к началу | ||
Shaman |
|
|
Нет, ответ другой, уже это необычно ))
Собственно, вольфрам и мэпл дают правильный ответ, e^12, а люди, как правило, ошибаются. |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
[math]\[\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{4n}}*{(\frac{{n + 1}}{{n + 5}})^{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{4n + {n^2}\ln (\frac{{n + 1}}{{n + 5}})}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{{n^2}(\frac{4}{n} + \ln (\frac{{n + 1}}{{n + 5}}))}} = \exp \{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{4}{n} + \ln (\frac{{n + 1}}{{n + 5}})}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}}\} = \left| {\frac{0}{0}} \right| = \hfill \\ = \exp \{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{{\frac{{n + 5 - n - 1}}{{{{(n + 5)}^2}}}}}{{\frac{{n + 1}}{{n + 5}}}}}}{{ - \frac{2}{{{n^3}}}}}\} = \exp \{ 4\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{ - 6n - 5}}{{{n^2}({n^2} + 6n + 5)}}}}{{ - \frac{2}{{{n^3}}}}}\} = \exp \{ 4\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n(6n + 5)}}{{2({n^2} + 6n + 5)}}\} = {e^{12}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]
Хм, и правда) Ошибкой было применение замечательного предела, где его нет на самом деле, ведь весь предел не есть единица в бесконечности) |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Лучше не Лопиталем, а Тейлором - короче будет:
[math]4n+n^2\ln\left(1-\frac{4}{n+5}\right)=4n-n^2\left(\frac{4}{n+5}+\frac{8}{(n+5)^2}+o(n^{-2})\right)=\frac{20n}{n+5}-\frac{8n^2}{(n+5)^2}+o(1)\longrightarrow 20-8=12.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: neurocore, valentina |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Насчет производных
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
199 |
13 май 2020, 11:50 |
|
ДУ в частных производных | 1 |
239 |
23 мар 2019, 20:01 |
|
ДУ в частных производных | 5 |
232 |
19 мар 2022, 01:20 |
|
Применение производных
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
1 |
259 |
27 апр 2020, 01:33 |
|
Свойства частных производных
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
217 |
10 окт 2018, 21:40 |
|
Задача в частных производных | 5 |
471 |
09 дек 2014, 22:04 |
|
Уравнения в частных производных | 26 |
1797 |
09 ноя 2014, 00:33 |
|
Производные от производных и прочее
в форуме Численные методы |
0 |
161 |
17 мар 2019, 14:49 |
|
Найти 4 частных производных
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
304 |
03 апр 2015, 19:46 |
|
Какое решение будет у производных?
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
268 |
28 дек 2014, 19:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: 3axap и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |