Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Непрерывность функции на интервале
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 20:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 окт 2019, 15:38
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функция f непрерывна на интервале (a;b), m = inf[math]_{(a;b)}[/math](f), M = sup[math]_{(a;b)}[/math](f). Доказать, что для любого y [math]\in (m; M)[/math] существует x [math]\in (a;b)[/math] такое, что f(x) = y.
Такое утверждение выполняется для интервалов и легко доказывается. Здесь же я не знаю, от чего отталкиваться. По определению верхней грани множества X, верхняя грань это такое число M, что любое х из Х [math]\leqslant M[/math]. Значит ли это, что в данной задаче можно рассмотреть отрезок [m; M]? Однако y [math]\in (m; M)[/math], то есть интервалу, а не отрезку, тогда каким образом строить доказательство?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность функции на интервале
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 20:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Покажите следующее:
[math]\forall y \in (m, M) \, \, \exists \, a\leqslant x_1, x_2 \leqslant b \,\colon \, f(x_1)<y<f(x_2)[/math]

Дальше справитесь сами?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность функции на интервале
СообщениеДобавлено: 16 окт 2019, 23:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 окт 2019, 15:38
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Покажите следующее:
[math]\forall y \in (m, M) \, \, \exists \, a\leqslant x_1, x_2 \leqslant b \,\colon \, f(x_1)<y<f(x_2)[/math]

Дальше справитесь сами?

Собственно, вот к чему я пришел. Только окончательно запутался со знаками.
Пусть это допущение не верно. Тогда строим отрицание: [math]\exists y[/math] [math]\in (m, M)[/math] такой, что для любых x[math]_{1}[/math], x[math]_{2}[/math] [math]\in (a, b)[/math] выполняется f(x[math]_{1}[/math]) [math]\geqslant y[/math] [math]\geqslant f(x_{2} )[/math].
Тогда M = inf(f) = f(a[math]_{1}[/math]), m = sup(f) = f(b[math]_{1}[/math]). Тогда из построенного отрицания существует такой y, что он [math]\leqslant[/math] inf(f). Значит отрицание не верно.
Так ли это?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность функции на интервале
СообщениеДобавлено: 17 окт 2019, 06:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начнем с того, что по сути в утверждении содержалось два: для х1 и х2. Отрицание стоило строить по каждому отдельно. А так получилось весьма коряво. Соответственно в доказательстве я не понял силлогизм, почему и из чего следует. Ну и противоречия на самом деле не получено.
Ну и от противного не лучший способ. Прямо показать гораздо проще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность функции на интервале
СообщениеДобавлено: 17 окт 2019, 12:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kak_eru_666 писал(а):
Такое утверждение выполняется для интервалов и легко доказывается. Здесь же я не знаю, от чего отталкиваться.

Эти два предложения из первого поста я не понял. Про какое утверждение для интервалов идёт речь? У нас в условии есть интервал. Чем утверждение из первого поста отличается от утверждения, которое легко доказывается?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Колебание функции на интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

e7min

13

505

16 янв 2019, 16:08

Пример нестрого выпуклой функции на интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Sasha_

10

648

27 июн 2018, 12:38

Найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SheLdeR_856

9

609

06 май 2018, 18:03

Определить характер монотонности функции на каждом интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

katharsis

0

186

08 июн 2022, 16:29

Непрерывность функции

в форуме Дифференциальное исчисление

magicmagic

1

346

25 ноя 2014, 21:16

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ibrokhim25Z2B5DI47

4

236

22 ноя 2020, 20:53

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sanchousina

16

275

23 дек 2020, 00:09

Непрерывность функции

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

genia2030

10

3760

01 окт 2019, 19:14

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

3

218

25 дек 2017, 00:25

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Polish_CD

1

173

02 ноя 2020, 17:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved