Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел последовательности
СообщениеДобавлено: 13 фев 2019, 17:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 ноя 2017, 23:40
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день! У меня возникла путаница при решении задачи:
Пусть последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}[/math] такова, что n[math]\left( x_{n+1} - x_{n} \right)[/math] [math]\to[/math] 0 и существует конечный предел [math]\lim_{n \to \infty } x_{2^{n} }[/math] = a. Тогда [math]\lim_{n \to \infty } x_{n}[/math] = a.

По определению предела я расписал: [math]\forall \varepsilon[/math] [math]\exists n_{0}[/math]: [math]\forall[/math] n [math]> n_{0}[/math] [math]\left| x_{n} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}} + x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]\leqslant[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}}\right|[/math] + [math]\left| x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math]

И вот здесь я не совсем уверен, как от этого плясать дальше и можно ли вообще.

Спасибо за помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел последовательности
СообщениеДобавлено: 13 фев 2019, 17:58 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дальше , для каждого [math]\varepsilon > 0[/math] , [math]\exists[/math] такое [math]N_{0}[/math] что для каждого [math]n > N_{0},\left| x_{n} - x_{2^{n} } \right| < \frac{ \varepsilon }{ 2 } , \left|x_{2^{n}} -a \right| < \frac{ \varepsilon }{ 2 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел последовательности
СообщениеДобавлено: 14 фев 2019, 11:55 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sever писал(а):
По определению предела я расписал: [math]\forall \varepsilon[/math] [math]\exists n_{0}[/math]: [math]\forall[/math] n [math]> n_{0}[/math] [math]\left| x_{n} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}} + x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]\leqslant[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}}\right|[/math] + [math]\left| x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math]

Что-то странное Вы написали. Я бы написал так:

[math]\forall \varepsilon >0 \,\colon \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,\colon \forall n > N_{\varepsilon} \,\colon n \left| x_{n+1} - x_n \right| < \varepsilon[/math]
[math]\forall \delta >0 \,\colon \exists M_{\delta} \in \mathbb{N} \,\colon \forall m > M_{\delta} \,\colon \left| x_{2^m} - a \right| < \delta[/math]

Рассмотрим [math]n > \max \left\{ N_{\varepsilon}, 2^{M_{\delta}} \right\}[/math]. Пусть [math]m \in \mathbb{N}[/math] таково, что выполнено неравенство [math]2^m < n \leqslant 2^{m+1}[/math]. Для таких [math]m[/math] и [math]n[/math] будут выполнены неравенства из выписанных выше определений предела. Тогда:

[math]\left| x_n - a \right| = \left| x_{2^m} - a + \sum\limits_{k = 2^m}^{n - 1}\left( x_{k+1} - x_k\right) \right| \leqslant \left| x_{2^m} - a \right| + \sum\limits_{k = 2^m}^{n - 1} \frac{\varepsilon}{k} \leqslant \varepsilon + \frac{m-2^n}{2^n} \varepsilon = \frac{m}{2^n} \varepsilon \leqslant \frac{2^{n+1}}{2^n} \varepsilon = 2 \varepsilon[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Sever
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RomanSV

6

216

25 дек 2019, 01:42

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

janebrooks

1

212

09 окт 2016, 12:45

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lvhhfj

1

133

26 ноя 2018, 23:42

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

closeyoureyes

1

416

02 сен 2015, 12:17

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Pochemuchka

2

199

23 дек 2020, 22:23

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Derevyashka

2

160

08 мар 2020, 16:28

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

7

623

09 сен 2015, 09:44

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

satbek

7

604

24 сен 2015, 17:25

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

onetwo

3

310

30 сен 2015, 20:09

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Vanoles

2

369

22 окт 2017, 00:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved