Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Sever |
|
|
Пусть последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}[/math] такова, что n[math]\left( x_{n+1} - x_{n} \right)[/math] [math]\to[/math] 0 и существует конечный предел [math]\lim_{n \to \infty } x_{2^{n} }[/math] = a. Тогда [math]\lim_{n \to \infty } x_{n}[/math] = a. По определению предела я расписал: [math]\forall \varepsilon[/math] [math]\exists n_{0}[/math]: [math]\forall[/math] n [math]> n_{0}[/math] [math]\left| x_{n} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}} + x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]\leqslant[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}}\right|[/math] + [math]\left| x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math] И вот здесь я не совсем уверен, как от этого плясать дальше и можно ли вообще. Спасибо за помощь! |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Дальше , для каждого [math]\varepsilon > 0[/math] , [math]\exists[/math] такое [math]N_{0}[/math] что для каждого [math]n > N_{0},\left| x_{n} - x_{2^{n} } \right| < \frac{ \varepsilon }{ 2 } , \left|x_{2^{n}} -a \right| < \frac{ \varepsilon }{ 2 }[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Sever писал(а): По определению предела я расписал: [math]\forall \varepsilon[/math] [math]\exists n_{0}[/math]: [math]\forall[/math] n [math]> n_{0}[/math] [math]\left| x_{n} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}} + x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]\leqslant[/math] [math]\left| x_{n} - x_{2^{n}}\right|[/math] + [math]\left| x_{2^{n}} - a \right|[/math] [math]<[/math] [math]\varepsilon[/math] Что-то странное Вы написали. Я бы написал так: [math]\forall \varepsilon >0 \,\colon \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,\colon \forall n > N_{\varepsilon} \,\colon n \left| x_{n+1} - x_n \right| < \varepsilon[/math] [math]\forall \delta >0 \,\colon \exists M_{\delta} \in \mathbb{N} \,\colon \forall m > M_{\delta} \,\colon \left| x_{2^m} - a \right| < \delta[/math] Рассмотрим [math]n > \max \left\{ N_{\varepsilon}, 2^{M_{\delta}} \right\}[/math]. Пусть [math]m \in \mathbb{N}[/math] таково, что выполнено неравенство [math]2^m < n \leqslant 2^{m+1}[/math]. Для таких [math]m[/math] и [math]n[/math] будут выполнены неравенства из выписанных выше определений предела. Тогда: [math]\left| x_n - a \right| = \left| x_{2^m} - a + \sum\limits_{k = 2^m}^{n - 1}\left( x_{k+1} - x_k\right) \right| \leqslant \left| x_{2^m} - a \right| + \sum\limits_{k = 2^m}^{n - 1} \frac{\varepsilon}{k} \leqslant \varepsilon + \frac{m-2^n}{2^n} \varepsilon = \frac{m}{2^n} \varepsilon \leqslant \frac{2^{n+1}}{2^n} \varepsilon = 2 \varepsilon[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: Sever |
||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |