Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 20 янв 2019, 20:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 янв 2019, 19:57
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\lim_{x \to 0}\frac{ cos2x-cos4x }{ 3x^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 20 янв 2019, 20:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]shked19,[/math]
в окрестности нуль
[math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math]

[math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 21 янв 2019, 04:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2719
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
835 раз в 668 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan, вы путаете эквивалентность с равенством с точностью до бесконечно малых высшего порядка, то есть с формулой Тейлора. Так что Ваше решение это не применение эквивалентностей, а использование формулы Тейлора.

В данном случае можно в числитель добавить +1 и -1 и расписав в разность двух пределов, к каждому применить эквивалентность [math]1-\cos x\sim\frac{x^2}2[/math] - следствие эквивалентности [math]\sin x\sim x[/math].
Или расписать разность косинусов и прямо использовать эквивалентность [math]\sin x\sim x[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Fenix
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 21 янв 2019, 11:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
[math]shked19,[/math]
в окрестности нуль
[math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math]

[math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math]


В окрестности нуль
[math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 21 янв 2019, 14:46 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Tantan писал(а):
[math]shked19,[/math]
в окрестности нуль
[math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math]

[math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math]


В окрестности нуль
[math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math]

Tantan, найдите ошибку (shked19, Вам лучше отвернуться):

При [math]x \to 0[/math]:

[math]\cos{2x} \sim 1 + x[/math]

[math]\cos{4x} \sim 1[/math]

[math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 + x - 1 \sim x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
dr Watson, Fenix
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 21 янв 2019, 15:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2719
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
835 раз в 668 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я ожидал подобной реакции от Tantan и даже приготовил возражение, использующее эквивалентность [math]\cos x\sim \varphi(x)[/math] при [math]x\to 0[/math], где [math]\varphi(x)[/math] - любая функция с пределом 1 при [math]x\to 0[/math], но Space меня опередил. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 21 янв 2019, 19:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Tantan писал(а):
Tantan писал(а):
[math]shked19,[/math]
в окрестности нуль
[math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math]

[math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math]


В окрестности нуль
[math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math]

Tantan, найдите ошибку (shked19, Вам лучше отвернуться):

При [math]x \to 0[/math]:

[math]\cos{2x} \sim 1 + x[/math]

[math]\cos{4x} \sim 1[/math]

[math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 + x - 1 \sim x[/math]


По-моему
[math]\lim_{x \to 0} \frac{ cos2x - cos4x }{ 3x^2 } = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{ 12x^2 }{ 2! } }{ 3x^2 } = \frac{ 12 }{ 6 } = 2[/math]

[math]Space , dr Watson
,[/math]

Пусть увидим по Вашем какой предел получаеться!?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 22 янв 2019, 04:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2719
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
835 раз в 668 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да можно так же, только не надо говорить, что это получено применением эквивалентностей. Это в чистом виде Тейлор:
[math]\cos x=1-\frac{x^2}2+o(x^2)[/math]
Поэтому [math]\frac{\cos 2x - \cos 4x}{3x^2}=\frac{1-2x^2-1+8x^2+o(x^2)}{3x^2}=2+\frac{o(x^2)}{x^2}\to 2[/math]

Tantan писал(а):
В окрестности нуль
[math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math]


Вывод верен, но вовсе не потому, что [math]\cos x\sim 1-\frac{x^2}2[/math] - это бессмыслица. Эквивалентность рассматривают только для бесконечно малых и бесконечно больших, в иных случаях такая эквивалентность никому не нужна и поэтому не вводится.
Но если в определении эквивалентности бесконечно малых или бесконечно больших ([math]f\sim g\Leftrightarrow\lim\frac fg=1[/math]) снять это ограничение снять, то при [math]x\to 0[/math] появятся такие "эквивалентности" [math]\cos x\sim 1\sim 1+x\sim 1-x\sim e^x\sim\ln(e+\sin x)\sim\ldots[/math]
Что можно творить с помощью таких "эквивалентностей", можете догадаться?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 22 янв 2019, 11:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Вывод верен, но вовсе не потому, что [math]cosx∼1 - \frac{ x^2 }{ 2! }[/math]
- это бессмыслица.

Это не безсмислица!Это приближение [math]\cos{x}[/math] в окрестности нулья, потому что [math]\cos{x} = 1 -\frac{ x^2 }{ 2! } + o(x^4)[/math] и по моему это означает, что [math]cosx∼1 - \frac{ x^2 }{ 2! }[/math] .
И все же я не понял какая Вы получаете граница через "законная" по Вашему эквивалентность?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые ф
СообщениеДобавлено: 22 янв 2019, 11:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2719
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
835 раз в 668 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По определению эквивалентность бывает только между бесконечно малыми и бесконечно большими - Вам уже 101 раз об этом говорят, загляните в Вики, хотя бы, наконец-то.
Разложение [math]\cos x =1-\frac{x^2}2+o(x^{\color{red}3})[/math] верное - это формула Тейлора с остатком в форме Пеано.
Но оно не означает, что [math]\cos x\sim 1-\frac{x^2}2[/math] - хотя пределы их одинаковы (оба по единице), но они не являются ни бесконечно малыми ни бесконечно большими.
И вообще эквивалентность в расширенном смысле никому не нужна - ей нет применений, ибо [math]\lim \frac fg=1[/math] в случае отсутствия неопределенности означает просто равенство пределов числителя и знаменателя.

А предел равен двум - я же писал об этом и даже привёл вычисления практически те же, что и у Вас, только называл это применением формулы Тейлора, а не применением эквивалентностей.
Как применить эквивалентности я тоже писал - в самом начале указал два способа. Первый из них - разбивка в разность пределов и применение эквивалентности [math]1-\cos x\sim \frac{x^2}2[/math] к каждому члену разности. По виду оно опять - калька с Вашего с незначительными отличиями в арифметике..
Второй способ - по тригонометрической формуле записать разность косинусов произведением синусов и применить эквивалентность [math]\sin x\sim x[/math] - это уже скорее всего то, что предполагалось составителем, так как в этом случае непосредственно используется классическая эквивалентность [math]\sin x\sim x[/math], а не её следствие [math]1-\cos x\sim \frac{x^2}2[/math]


Последний раз редактировалось dr Watson 22 янв 2019, 12:18, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Эквивалентные бесконечно малые

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sasha9468

3

92

22 дек 2023, 08:39

Эквивалентные бесконечно малые функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

blondalexa

5

1171

29 янв 2016, 10:07

Эквивалентные бесконечно малые.Приближенные вычисления

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mayer

1

360

11 окт 2015, 16:09

Можно ли так заменять на эквивалентные бесконечно малые?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alekscooper

5

499

23 июл 2018, 21:29

Найти предел, используя эквивалентные замены

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Newbie_MTF

1

181

18 окт 2017, 13:43

Бесконечно малые

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

GeHorner

2

188

29 окт 2020, 22:46

Как сравнить две бесконечно малые?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MyNameIsYou

1

326

15 ноя 2014, 11:34

Сравнить две ф-ции, бесконечно малые в точке x0

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Garfield

1

285

17 окт 2017, 00:34

Пределы и бесконечно малые функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

gorest

2

117

27 сен 2020, 08:27

Сравнить две функции A(x)и B(x), бесконечно малые в точке x0

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Genious

3

157

24 ноя 2021, 17:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved