Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
shked19 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
[math]shked19,[/math]
в окрестности нуль [math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math] [math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Tantan, вы путаете эквивалентность с равенством с точностью до бесконечно малых высшего порядка, то есть с формулой Тейлора. Так что Ваше решение это не применение эквивалентностей, а использование формулы Тейлора.
В данном случае можно в числитель добавить +1 и -1 и расписав в разность двух пределов, к каждому применить эквивалентность [math]1-\cos x\sim\frac{x^2}2[/math] - следствие эквивалентности [math]\sin x\sim x[/math]. Или расписать разность косинусов и прямо использовать эквивалентность [math]\sin x\sim x[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: Fenix |
||
Tantan |
|
|
Tantan писал(а): [math]shked19,[/math] в окрестности нуль [math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math] [math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math] В окрестности нуль [math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Tantan писал(а): Tantan писал(а): [math]shked19,[/math] в окрестности нуль [math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math] [math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math] В окрестности нуль [math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math] Tantan, найдите ошибку (shked19, Вам лучше отвернуться): При [math]x \to 0[/math]: [math]\cos{2x} \sim 1 + x[/math] [math]\cos{4x} \sim 1[/math] [math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 + x - 1 \sim x[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: dr Watson, Fenix |
||
dr Watson |
|
|
Я ожидал подобной реакции от Tantan и даже приготовил возражение, использующее эквивалентность [math]\cos x\sim \varphi(x)[/math] при [math]x\to 0[/math], где [math]\varphi(x)[/math] - любая функция с пределом 1 при [math]x\to 0[/math], но Space меня опередил.
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Space писал(а): Tantan писал(а): Tantan писал(а): [math]shked19,[/math] в окрестности нуль [math]\cos{2x} \sim 1- \frac{ 4x^2 }{ 2! }[/math] [math]\cos{4x} \sim 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! }[/math] В окрестности нуль [math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math] Tantan, найдите ошибку (shked19, Вам лучше отвернуться): При [math]x \to 0[/math]: [math]\cos{2x} \sim 1 + x[/math] [math]\cos{4x} \sim 1[/math] [math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 + x - 1 \sim x[/math] По-моему [math]\lim_{x \to 0} \frac{ cos2x - cos4x }{ 3x^2 } = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{ 12x^2 }{ 2! } }{ 3x^2 } = \frac{ 12 }{ 6 } = 2[/math] [math]Space , dr Watson ,[/math] Пусть увидим по Вашем какой предел получаеться!? |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Да можно так же, только не надо говорить, что это получено применением эквивалентностей. Это в чистом виде Тейлор:
[math]\cos x=1-\frac{x^2}2+o(x^2)[/math] Поэтому [math]\frac{\cos 2x - \cos 4x}{3x^2}=\frac{1-2x^2-1+8x^2+o(x^2)}{3x^2}=2+\frac{o(x^2)}{x^2}\to 2[/math] Tantan писал(а): В окрестности нуль [math]\cos{2x} - \cos{4x} \sim 1 - \frac{ 4x^2 }{ 2! } -\left( 1- \frac{ 16x^2 }{ 2! } \right) \sim \frac{ 12x^2 }{ 2! }[/math] Вывод верен, но вовсе не потому, что [math]\cos x\sim 1-\frac{x^2}2[/math] - это бессмыслица. Эквивалентность рассматривают только для бесконечно малых и бесконечно больших, в иных случаях такая эквивалентность никому не нужна и поэтому не вводится. Но если в определении эквивалентности бесконечно малых или бесконечно больших ([math]f\sim g\Leftrightarrow\lim\frac fg=1[/math]) снять это ограничение снять, то при [math]x\to 0[/math] появятся такие "эквивалентности" [math]\cos x\sim 1\sim 1+x\sim 1-x\sim e^x\sim\ln(e+\sin x)\sim\ldots[/math] Что можно творить с помощью таких "эквивалентностей", можете догадаться? |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
dr Watson писал(а): Вывод верен, но вовсе не потому, что [math]cosx∼1 - \frac{ x^2 }{ 2! }[/math] - это бессмыслица. Это не безсмислица!Это приближение [math]\cos{x}[/math] в окрестности нулья, потому что [math]\cos{x} = 1 -\frac{ x^2 }{ 2! } + o(x^4)[/math] и по моему это означает, что [math]cosx∼1 - \frac{ x^2 }{ 2! }[/math] . И все же я не понял какая Вы получаете граница через "законная" по Вашему эквивалентность? |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
По определению эквивалентность бывает только между бесконечно малыми и бесконечно большими - Вам уже 101 раз об этом говорят, загляните в Вики, хотя бы, наконец-то.
Разложение [math]\cos x =1-\frac{x^2}2+o(x^{\color{red}3})[/math] верное - это формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Но оно не означает, что [math]\cos x\sim 1-\frac{x^2}2[/math] - хотя пределы их одинаковы (оба по единице), но они не являются ни бесконечно малыми ни бесконечно большими. И вообще эквивалентность в расширенном смысле никому не нужна - ей нет применений, ибо [math]\lim \frac fg=1[/math] в случае отсутствия неопределенности означает просто равенство пределов числителя и знаменателя. А предел равен двум - я же писал об этом и даже привёл вычисления практически те же, что и у Вас, только называл это применением формулы Тейлора, а не применением эквивалентностей. Как применить эквивалентности я тоже писал - в самом начале указал два способа. Первый из них - разбивка в разность пределов и применение эквивалентности [math]1-\cos x\sim \frac{x^2}2[/math] к каждому члену разности. По виду оно опять - калька с Вашего с незначительными отличиями в арифметике.. Второй способ - по тригонометрической формуле записать разность косинусов произведением синусов и применить эквивалентность [math]\sin x\sim x[/math] - это уже скорее всего то, что предполагалось составителем, так как в этом случае непосредственно используется классическая эквивалентность [math]\sin x\sim x[/math], а не её следствие [math]1-\cos x\sim \frac{x^2}2[/math] Последний раз редактировалось dr Watson 22 янв 2019, 12:18, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |