Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Показать, что функция имеет верхнюю и нижнюю грань
СообщениеДобавлено: 16 янв 2019, 15:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Показать, что функция f(x)=[math]\frac{ x }{ 1+x }[/math] на [0, [math]\infty[/math] ) имеет нижнюю и верхнюю грань m=0, М=1.

В доказательстве написано, что [math]\frac{ x }{ 1+x }[/math] [math]\geqslant[/math] 0, возьмём произвольную [math]0< \varepsilon < 1[/math]. Тогда f(x)=[math]\frac{ x }{ 1+x } < \varepsilon[/math] при [math]0< x < \frac{ \varepsilon }{ 1- \varepsilon }[/math] поэтому inf{f(x)}=0 при [math]0\leqslant x < \infty[/math]

Далее говорится, что очевидно, что [math]\frac{ x }{ 1+x } < 1[/math] при [math]0 \leqslant x < \infty[/math] С другой стороны для указанного ранее [math]\varepsilon f(x)=\frac{ x }{ 1+x } > 1- \varepsilon[/math] при [math]x > \frac{ 1- \varepsilon }{ \varepsilon }[/math], то есть sup{f(x)}=1 при [math]0 \leqslant x < \infty[/math]

Вот мне не понятно, если мы доказываем про sup, значит нам надо показать, что f(x)<1, почему мы тогда берем f(x)>1- [math]\varepsilon[/math] и от этого дальше действуем?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что функция имеет верхнюю и нижнюю грань
СообщениеДобавлено: 16 янв 2019, 15:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если я правильно понял, то это по определенью супремума, т.е. мы для любого [math]\varepsilon[/math] справедливо, что на какое бы малое [math]\varepsilon[/math] от супремума мы не отступили влево, то найдётся такое значение функции, которое будет больше этого [math]\varepsilon[/math]. И мы берём за супремум 1, вычитаем [math]\varepsilon[/math] и дальше доказывает что существуют такие значения. Это так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что функция имеет верхнюю и нижнюю грань
СообщениеДобавлено: 16 янв 2019, 15:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2481
Cпасибо сказано: 88
Спасибо получено:
793 раз в 633 сообщениях
Очков репутации: 196

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну да, надо показать, что никакое число, меньшее 1 не может быть верхней границей функции, т.е. для всякого сила, меньшего 1, найдётся значение, большее этой ущерблённой единички.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
e7min
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что функция имеет верхнюю и нижнюю грань
СообщениеДобавлено: 16 янв 2019, 15:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
т.е. для всякого сила, меньшего 1, найдётся значение, большее этой ущерблённой единички.
почему больше, если нам надо показать, что 1 это супремум?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что функция имеет верхнюю и нижнюю грань
СообщениеДобавлено: 16 янв 2019, 19:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2481
Cпасибо сказано: 88
Спасибо получено:
793 раз в 633 сообщениях
Очков репутации: 196

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
e7min, я в одном предложении уже два раза сказал про уменьшенную единичку, а на третий раз назвал её ущерблённой - от неё ведь эпсилон отгрызли.

ЗЫ. Заметил у себя очепятку - не сразу даже понял, при чём здесь "сила" - это в слове "число" одна буква пропала и две переставились.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
e7min
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти нижнюю грань inf и верхнюю sup

в форуме Интегральное исчисление

fedor3099

0

124

05 июн 2014, 17:47

Теоретическая задача про нижнюю грань

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

letunx

3

354

08 окт 2014, 18:53

Показать, что функция не имеет предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

e7min

2

66

17 янв 2019, 20:00

Найти нижнюю и верхнюю интегральные суммы для функции y=x^3

в форуме Интегральное исчисление

andreinmoscow

9

997

11 мар 2013, 03:20

Найти для данного множества верхнюю и нижнюю грани

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Alinmora

2

164

02 янв 2016, 19:39

Показать что касательная к гиперболе имеет вид

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Jankov

5

171

12 янв 2017, 16:54

Показать, что расширение не имеет собственных подполей

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Andrew542

0

155

06 дек 2015, 20:29

Показать, что оператор A имеет собственный вектор

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Michail760

1

70

28 май 2017, 18:24

Показать что функция

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Vova99

1

229

05 дек 2013, 14:49

Дана функция: z = m x^2/y. Показать, что ∂^2z/∂x∂y + x/y * ∂

в форуме Дифференциальное исчисление

periklus

3

282

01 май 2015, 01:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved