Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=63458
Страница 2 из 2

Автор:  searcher [ 27 дек 2018, 13:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел

Возможно скажу ерунду (с методической точки зрения). Мне кажется, что в исходном пределе в скобке можно не тянуть члены с [math]1/x^2[/math], поскольку перед скобкой [math]x[/math] в первой степени, и дополнительные члены на ответ не влияют. Очевидно [math]\sqrt{\frac{x+1}{x}} \sim 1+\frac{1}{2x}[/math] . И [math]\frac{\sin \frac{1}{x}}{\sin \frac{1}{x+1}} \sim 1+\frac{1}{x}[/math] . Перемножая это и вычитая единицу, получаем, что скобка эквивалентна [math]\frac{3}{2x}[/math] . А вот в последнем примере перед скобкой стоит [math]x^2[/math] , что как-бы намекает, что в скобке нужно тянуть члены до [math]x^{-2}[/math] .

Автор:  Webmex [ 27 дек 2018, 13:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел

dr Watson писал(а):
Webmex неверно избавился синусов, здесь это сошло с рук - ответ сошёлся.
Пусть он попробует сделать подобное в чутка изменённом пределе [math]\lim\limits_{t\to0}\frac{1}{t^2}\left(\frac {\sin t}{\sin\frac{t}{1+t}}-1-t\right)[/math]
здесь при подобном действии правильный ответ [math]\frac56[/math] не получится.


А что вы имели ввиду про проверку числителя через ряд Тейлора? С самим рядом знаком, и в моем понимании, это представление какой-нибудь функции в виде бесконечного ряда.
Разложить [math]\sin{x \,\colon x+1}[/math] по ряду Тейлора и через него найти эквивалентную функцию в нуле?

Автор:  dr Watson [ 27 дек 2018, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел

Webmex писал(а):
Разложить [math]\sin{x \,\colon x+1}[/math] по ряду Тейлора и через него найти эквивалентную функцию в нуле?

При [math]t\to0[/math] имеем эквивалентности [math]\sin \frac{t}{1+t}\sim \frac{t}{1+t}\sim t[/math], если Вы знаете, что такое эквивалентность, а ряд Тейлора этого понятия практически не касается.
И вообще про ряд Тейлора я не говорил, речь шла о разложении по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано до нужного члена.
В множителях можно учитывать только главный член, а вот слагаемые нужно раскладывать именно до нужного порядка.

Автор:  Webmex [ 27 дек 2018, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел

dr Watson писал(а):
Webmex писал(а):
Разложить [math]\sin{x \,\colon x+1}[/math] по ряду Тейлора и через него найти эквивалентную функцию в нуле?

При [math]t\to0[/math] имеем эквивалентности [math]\sin \frac{t}{1+t}\sim \frac{t}{1+t}\sim t[/math], если Вы знаете, что такое эквивалентность, а ряд Тейлора этого понятия практически не касается.
И вообще про ряд Тейлора я не говорил, речь шла о разложении по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано до нужного члена.
В множителях можно учитывать только главный член, а вот слагаемые нужно раскладывать именно до нужного порядка.


Правильно ли я понимаю эквивалентное, это как пересечение в нуле двух функций?
Например эти эквивалентны при стремлении функций к нулю Изображение

а вот эти уже не эквивалентны Изображение
или не так? (про отношение 2-х ф-ий равное 1 помню, но интересует именно графическое понимание)

Автор:  dr Watson [ 27 дек 2018, 17:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел

Webmex писал(а):
... это как пересечение в нуле двух функций

Без понятия, какой смысл Вы вкладываете в это предложение. Две функции [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] называются эквивалентными при [math]x\to x_0[/math], если [math]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1[/math]

Автор:  Webmex [ 27 дек 2018, 19:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел

Спасибо большое за помощь!

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/