Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 12 дек 2018, 14:58 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую

Встал такой вопрос -

есть экспериментальные точки [math]\left\{ x_i, y_i \right\}[/math] и есть некоторая функция [math]f(x, k_1, ..., k_n)[/math]

МНК заключается в том, чтобы найти коэффициенты [math]k_1, ... k_n[/math] такие, чтобы

[math]S = \sum\limits_{i} \left( y_i - f(x_i) \right) ^{2} \to min[/math]

У меня такой вопрос:

равносильно ли это будет решению такой задачи:

[math]S = \sum\limits_{i} \left( ln(y_i) - ln(f(x_i)) \right) ^{2} \to min[/math]

т.е. могу ли я от значений функции [math]f(x)[/math] и экспериментальных точек [math]\left\{ x_i, y_i \right\}[/math] перейти к их натуральным алгоритмам [math]ln(f(x))[/math] и [math]\left\{ x_i, ln(y_i) \right\}[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 12 дек 2018, 20:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть точки из эксперимента лежат на одной прямой. Тогда [math]f(x)=k \cdot x+c[/math].
Теперь рассмотрим [math]ln(y)=ln(k \cdot x+c)[/math]. Решение будет тем же, хотя область определения уже.
А поскольку любую аналитическую кривую можно приблизить отрезками, то ваша замена адекватна и для иных функций.
Неравносильность только в разных областях определения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 12 дек 2018, 20:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Fireman,[/math]
1) Можно, но вопрос в том, что это Вам даеть?;
2) Первое, необходимое условие - надо все, [math]y_{i} > 0, f(x_{i}) > 0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 12 дек 2018, 22:40 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan
1) у меня [math]f(x)[/math] содержит экспоненты, поэтому если перейти к логарифмической форме, то это позволяет мне легко вычислить производную от [math]S[/math] по некоторым коэффициентам и соответственно эти коэффициенты вычислить аналитически, а не численными методами

2) да, такие условия выполняются на всем диапазоне x

т.е. если у меня
[math]f(x)=e^{ax}[/math]

тогда
[math]S=\sum \left(y_i - e^{ax_i} \right)^2 \to min[/math]

перейдя к логарифмам
[math]S^* =\sum \left(ln(y_i) - ax_i \right)^2 \to min[/math]

[math]S^* = \sum ln(y_i)^2 - 2a\sum ln(y_i)x_i + a^2\sum {x_i}^2 \to min[/math]

и находя производную, которая
[math]S^{*'}=0[/math]

[math]S^{*'}=-2\sum ln(y_i)x_i +2a\sum {x_i}^2=0[/math]

получаем

[math]a=\frac{ \sum ln(y_i)x_i }{ \sum {x_i}^2 }[/math]


У меня функции сложнее конечно, но если перейти к логарифмам их можно схожими способами дербанить
Вот и встал вопрос - имею ли я на это право, при том что да, [math]y_i >0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 13 дек 2018, 00:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fireman писал(а):
у меня f(x) содержит экспоненты, поэтому если перейти к логарифмической форме, то это позволяет мне легко вычислить производную от S по некоторым коэффициентам и соответственно эти коэффициенты вычислить аналитически, а не численными методами

Тогда эти коэффициенты будут несколько отличаться. Но к такой линеаризации функции обращаются.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 13 дек 2018, 11:39 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Talanov
э...

Цитата:
Но к такой линеаризации функции обращаются.


т.е. на выходе для первой формулы (с экспонентой) и второй (с логарифмом) коэффициенты a будут идентичными?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 13 дек 2018, 12:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fireman, коэффициенты будут отличаться, но считать их станет проще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод наименьших квадратов; почему именно квадратов?

в форуме Численные методы

tushkan

17

3038

04 апр 2015, 15:19

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

Dolgopups_poschadi

9

913

09 янв 2016, 16:06

Метод наименьших квадратов

в форуме Дифференциальное исчисление

Andrey82

9

288

02 авг 2020, 12:30

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

Dmitriy70

9

500

18 июн 2017, 15:27

Метод наименьших квадратов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

tabaluga13

4

348

26 окт 2018, 19:06

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

cincinat

2

486

16 окт 2015, 19:07

Метод наименьших квадратов для произвольной функции

в форуме Численные методы

Fireman

19

1244

27 июн 2018, 11:23

Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов

в форуме Maple

aflear

34

2716

19 мар 2016, 12:18

Полином Чебышева, метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

hurricane

1

474

08 мар 2016, 17:48

Найти по методу наименьших квадратов

в форуме Теория вероятностей

vega

1

696

28 апр 2015, 23:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved