Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сформулировать теорему о пределе числовой последовательности
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2018, 16:23 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2018, 15:31
Сообщений: 11
Откуда: Санкт-Петербург
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, начал готовиться к экзамену по высшей математике. И столкнулся с тем, что не могу выбрать правильный подход, чтобы сформулировать теорему о пределе последовательности [math]\lim_{x \to oo}[/math] { [math]x_{n}^{y_{n} }[/math] }Попоробовал использовать аналогию с пределом суммы/разности/частного/произведения ограниченных последовательностей, но ни к чему кроме

[math]x_{n}[/math][math]^{y_{n} }[/math] - a[math]^{b}[/math] = [math]x_{n}[/math][math]^{y_{n} } - (x_{n}[/math] -[math]\alpha_{n}[/math])[math]^{y_{n}- \beta_{n} }[/math]

Да, это уже не формулировка. Это выражение могло бы быть началом доказательства, но на что бы опиралось оно?

Как здесь действовать дальше, и имеет ли смысл такое выражение не понимаю. Возможно, стоит опираться на свойства последовательности, предел которой число e, но в таком случае, не понимаю, как начать. Помогите, пожалуйста.

Вообще, будет ли этот предел в принципе равен [math]a^{b}[/math] ?

[math]\lim_{n \to oo} x_{n}[/math]=a ; [math]\lim_{n \to oo}[/math] [math]y_{n}[/math] =b .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сформулировать теорему о пределе числовой последовательности
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2018, 16:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x_n^{y_n}=e^{y_n\ln x_n}[/math]

Так что если [math]a>0[/math], то все сводится к непрерывности экспоненты и логарифма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
ACherdenko
 Заголовок сообщения: Re: Сформулировать теорему о пределе числовой последовательности
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2018, 21:29 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
[math]x_n^{y_n}=e^{y_n\ln x_n}[/math]

Так что если [math]a>0[/math], то все сводится к непрерывности экспоненты и логарифма.

Было бы слишком просто. Подозреваю, что на этом этапе автор ещё не проходил пределы функций. ACherdenko, поправьте, если не так.

Думаю, можно и в лоб. Пусть [math]x_n = x + \alpha_n[/math] и [math]y_n = y + \beta_n[/math], [math]x>0[/math], [math]\alpha_n[/math] и [math]\beta_n[/math] — бесконечно малые. Сделайте следующую оценку:

[math]\left| x^y - (x+\alpha_n)^{y + \beta_n}\right| \leqslant \left| x^y - (x+\alpha_n)^{y}\right| + \left| (x+\alpha_n)^{y} - (x+\alpha_n)^{y + \beta_n}\right|[/math]

Далее докажите, что [math]\left| x^y - (x+\alpha_n)^{y}\right| \longrightarrow 0[/math], что равносильно [math]x^y \left| 1- \left( 1 + \frac{\alpha_n}{x} \right)^y \right| \longrightarrow 0[/math]. Для этого достаточно показать, что [math]\left( 1 + \gamma_n \right)^\mu \longrightarrow 1[/math], где [math]\gamma_n[/math] — бесконечно малая. Сначала это можно доказать для [math]\mu > 0[/math], оценив [math]\mu[/math] целой частью и используя бином Ньютона.

По сути это доказательство непрерывности степенной функции.

Аналогично оцените второй модуль, там будет посложнее, но тоже вполне реально.

P.S. На первом курсе тоже забавлялся с последовательностями. Интересно доказывать всё это так сказать "с нуля", не привлекая непрерывного анализа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
ACherdenko
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на теорему Вейерштрасса о пределе монотонной послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elphen Lied

3

180

19 янв 2020, 13:17

О пределе последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kosta

1

168

31 окт 2016, 12:36

Теорема о верхнем пределе последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Denik1324

3

228

10 апр 2021, 18:12

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elphen Lied

2

161

17 янв 2020, 10:56

Теорема о верхнем и нижнем пределе последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elphen Lied

8

690

17 янв 2020, 22:13

Предел числовой последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nyamnyam

2

189

29 сен 2020, 15:03

Предел числовой последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

rain_walker

6

319

02 апр 2022, 00:20

Наименьшая n числовой последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DorisNoris

9

166

03 ноя 2020, 12:52

Предел числовой последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ilya2016

2

302

18 окт 2015, 11:37

Предел числовой последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

hranitel6

4

404

03 дек 2016, 19:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved