Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ACherdenko |
|
|
[math]x_{n}[/math][math]^{y_{n} }[/math] - a[math]^{b}[/math] = [math]x_{n}[/math][math]^{y_{n} } - (x_{n}[/math] -[math]\alpha_{n}[/math])[math]^{y_{n}- \beta_{n} }[/math] Да, это уже не формулировка. Это выражение могло бы быть началом доказательства, но на что бы опиралось оно? Как здесь действовать дальше, и имеет ли смысл такое выражение не понимаю. Возможно, стоит опираться на свойства последовательности, предел которой число e, но в таком случае, не понимаю, как начать. Помогите, пожалуйста. Вообще, будет ли этот предел в принципе равен [math]a^{b}[/math] ? [math]\lim_{n \to oo} x_{n}[/math]=a ; [math]\lim_{n \to oo}[/math] [math]y_{n}[/math] =b . |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
[math]x_n^{y_n}=e^{y_n\ln x_n}[/math]
Так что если [math]a>0[/math], то все сводится к непрерывности экспоненты и логарифма. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: ACherdenko |
||
Space |
|
|
Human писал(а): [math]x_n^{y_n}=e^{y_n\ln x_n}[/math] Так что если [math]a>0[/math], то все сводится к непрерывности экспоненты и логарифма. Было бы слишком просто. Подозреваю, что на этом этапе автор ещё не проходил пределы функций. ACherdenko, поправьте, если не так. Думаю, можно и в лоб. Пусть [math]x_n = x + \alpha_n[/math] и [math]y_n = y + \beta_n[/math], [math]x>0[/math], [math]\alpha_n[/math] и [math]\beta_n[/math] — бесконечно малые. Сделайте следующую оценку: [math]\left| x^y - (x+\alpha_n)^{y + \beta_n}\right| \leqslant \left| x^y - (x+\alpha_n)^{y}\right| + \left| (x+\alpha_n)^{y} - (x+\alpha_n)^{y + \beta_n}\right|[/math] Далее докажите, что [math]\left| x^y - (x+\alpha_n)^{y}\right| \longrightarrow 0[/math], что равносильно [math]x^y \left| 1- \left( 1 + \frac{\alpha_n}{x} \right)^y \right| \longrightarrow 0[/math]. Для этого достаточно показать, что [math]\left( 1 + \gamma_n \right)^\mu \longrightarrow 1[/math], где [math]\gamma_n[/math] — бесконечно малая. Сначала это можно доказать для [math]\mu > 0[/math], оценив [math]\mu[/math] целой частью и используя бином Ньютона. По сути это доказательство непрерывности степенной функции. Аналогично оцените второй модуль, там будет посложнее, но тоже вполне реально. P.S. На первом курсе тоже забавлялся с последовательностями. Интересно доказывать всё это так сказать "с нуля", не привлекая непрерывного анализа. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: ACherdenko |
||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |