Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Gosrabios |
|
|
[math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Gosrabios писал(а): Подскажите, как решить: [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math] т.е. [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+1 } }[/math], разве у Вас [math]k = 1[/math] ! Eсли это так то надо иметь в виду что [math]\sqrt{n^2} + 1> \sqrt{n^2 + 1} \Rightarrow \frac{ 1 }{\sqrt{n^2 + 1} } > \frac{ 1 }{ n+1 }[/math], но [math]\frac{ 1 }{ n+1 }[/math] это общий член гармоничиского ряда, а он рассходиться, поетому и Ваш ряд [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math] рассходиться! |
||
Вернуться к началу | ||
Gosrabios |
|
|
Tantan писал(а): Gosrabios писал(а): Подскажите, как решить: [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math] т.е. [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+1 } }[/math], разве у Вас [math]k = 1[/math] ! Eсли это так то надо иметь в виду что [math]\sqrt{n^2} + 1> \sqrt{n^2 + 1} \Rightarrow \frac{ 1 }{\sqrt{n^2 + 1} } > \frac{ 1 }{ n+1 }[/math], но [math]\frac{ 1 }{ n+1 }[/math] это общий член гармоничиского ряда, а он рассходиться, поетому и Ваш ряд [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math] рассходиться! Но Вольфрам говорит, что предел равен единице используя дзета функцию Гурвица. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Gosrabios писал(а): Но Вольфрам говорит, что предел равен единице используя дзета функцию Гурвица. А что говорить Вольфрам об ряду [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ n+1 }[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Gosrabios |
|
|
Tantan писал(а): Gosrabios писал(а): Но Вольфрам говорит, что предел равен единице используя дзета функцию Гурвица. А что говорить Вольфрам об ряду [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ n+1 }[/math]? Извините, но вы отошли от сути, тем более причем здесь k=1, если в этом пределе k вообще не фигурирует. По-моему вы не поняли условия. В даном мной примере k изменяеться от единицы до n+1, а не k=1, это ж запись такая. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
[math]Gosrabios,[/math]
Ну возможно, но давайте порассуждаем тогда : 1) [math]k \leqslant n+1[/math] -саммая большая стойност в суммы, которая можно взять [math]= k[/math]- это [math]n+1[/math] это верно? ; 2) тогда [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } \geqslant \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + n+1} }[/math]это верно?[math][/math](при этом равенство имеет место только для [math]k= n+1[/math]! ); 3) [math]\sqrt{n^2 + n+1} < \sqrt{n^2 + 2n+1} \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + 2n+1} }= \frac{ 1 }{ n+1 } < \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + n+1} } \leqslant \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} }[/math] -это верно?; Тогда что выходить? |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Можно без Гурвица - есть два ряда, один из которых больше, а другой меньше заданного:
[math]\sum\limits_{k = 1}^{n + 1}{\frac{1}{{\sqrt{{n^2}}}}}= 1 + \frac{1}{n}[/math]; [math]\sum\limits_{k= 1}^{n + 1}{\frac{1}{{\sqrt{{n^2}+ 2n + 1}}}}= \frac{{n + 1}}{{n + 1}}= 1[/math]. Заметим, что члены рядов не зависят от k, а только от n. Использовано то, что для диапазона суммирования выполняется: [math]0<k<2n+1[/math]. В предельном случае при [math]n \to \infty[/math], для первого ряда имеем сумму 1, а второй и так тождественно равен 1. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Gosrabios |
||
Tantan |
|
|
[math]Gosrabios,[/math]
В конце концов понял Ваша сумма! 1) для [math]n=1 - \sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2+k} }\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k=1}^{2}\frac{ 1 }{ \sqrt{1^2+k} }=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math]; 2)для[math]n=2 -\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2+k} }\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k=1}^{3}\frac{ 1 }{ \sqrt{2^2+k} }=\frac{ 1 }{ \sqrt{5} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{7} }[/math]; [math]\cdot \cdot \cdot[/math] ; 10)для [math]n=10 -\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2+k} }\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k=1}^{111}\frac{ 1 }{ \sqrt{10^2+k} }=\frac{ 1 }{ \sqrt{101} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{102} } + \cdot \cdot \cdot + \frac{ 1 }{ \sqrt{111} } <11 \cdot \frac{ 1 }{ 10 } =\frac{ 11 }{ 10 }[/math]; [math]\cdot \cdot \cdot[/math] [math]\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } = \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + 1 }} + \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + 2 }}+ \cdot \cdot \cdot +\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 +n+ 1 }}<(n+1) \cdot \frac{ 1 }{ n }= \frac{ n+1 }{ n } = 1+\frac{ 1 }{ n }[/math] так что действительно [math]\lim_{n \to \infty }\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } \leqslant \lim_{n \to \infty }(1+\frac{ 1 }{ n }) =1[/math] С другой сторону [math]\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } \geqslant \frac{ n+1 }{ \sqrt{n^2+n+1} }[/math] но [math]\lim_{n \to \infty } \frac{ n+1 }{ \sqrt{n^2+n+1} } = \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 }{ \sqrt{1 - \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } } } = 1[/math], так что [math]\lim_{n \to \infty }\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } = 1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: Gosrabios |
||
dr Watson |
|
|
Явная опечатка - под корнем должно быть [math]k^2[/math] вместо [math]k[/math].
Тогда, отбрасывая последнее слагаемое (оно б.мало), получим [math]\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}}[/math], а это интегральная сумма для функции [math]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/math] на отрезке [math][0;1].[/math] Поэтому [math]\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}=\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(1+\sqrt2)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: Gosrabios |
||
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |