Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 18:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 авг 2016, 00:45
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 29
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите, как решить:
[math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 19:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gosrabios писал(а):
Подскажите, как решить:
[math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math]

т.е.
[math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+1 } }[/math], разве у Вас [math]k = 1[/math] !
Eсли это так то надо иметь в виду что [math]\sqrt{n^2} + 1> \sqrt{n^2 + 1} \Rightarrow \frac{ 1 }{\sqrt{n^2 + 1} } > \frac{ 1 }{ n+1 }[/math], но [math]\frac{ 1 }{ n+1 }[/math] это общий член гармоничиского ряда, а он рассходиться, поетому и Ваш ряд [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math] рассходиться!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 19:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 авг 2016, 00:45
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 29
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Gosrabios писал(а):
Подскажите, как решить:
[math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math]

т.е.
[math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+1 } }[/math], разве у Вас [math]k = 1[/math] !
Eсли это так то надо иметь в виду что [math]\sqrt{n^2} + 1> \sqrt{n^2 + 1} \Rightarrow \frac{ 1 }{\sqrt{n^2 + 1} } > \frac{ 1 }{ n+1 }[/math], но [math]\frac{ 1 }{ n+1 }[/math] это общий член гармоничиского ряда, а он рассходиться, поетому и Ваш ряд [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^{2}+k } }[/math] рассходиться!


Но Вольфрам говорит, что предел равен единице используя дзета функцию Гурвица.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 19:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gosrabios писал(а):
Но Вольфрам говорит, что предел равен единице используя дзета функцию Гурвица.

А что говорить Вольфрам об ряду [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ n+1 }[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 19:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 авг 2016, 00:45
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 29
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Gosrabios писал(а):
Но Вольфрам говорит, что предел равен единице используя дзета функцию Гурвица.

А что говорить Вольфрам об ряду [math]\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ n+1 }[/math]?

Извините, но вы отошли от сути, тем более причем здесь k=1, если в этом пределе k вообще не фигурирует. По-моему вы не поняли условия. В даном мной примере k изменяеться от единицы до n+1, а не k=1, это ж запись такая.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 19:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Gosrabios,[/math]
Ну возможно, но давайте порассуждаем тогда :
1) [math]k \leqslant n+1[/math] -саммая большая стойност в суммы, которая можно взять [math]= k[/math]- это [math]n+1[/math] это верно? ;
2) тогда [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } \geqslant \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + n+1} }[/math]это верно?[math][/math](при этом равенство имеет место только для [math]k= n+1[/math]! );
3) [math]\sqrt{n^2 + n+1} < \sqrt{n^2 + 2n+1} \Rightarrow \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + 2n+1} }= \frac{ 1 }{ n+1 } < \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + n+1} } \leqslant \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} }[/math] -это верно?;
Тогда что выходить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 20:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно без Гурвица - есть два ряда, один из которых больше, а другой меньше заданного:
[math]\sum\limits_{k = 1}^{n + 1}{\frac{1}{{\sqrt{{n^2}}}}}= 1 + \frac{1}{n}[/math];
[math]\sum\limits_{k= 1}^{n + 1}{\frac{1}{{\sqrt{{n^2}+ 2n + 1}}}}= \frac{{n + 1}}{{n + 1}}= 1[/math].
Заметим, что члены рядов не зависят от k, а только от n.
Использовано то, что для диапазона суммирования выполняется: [math]0<k<2n+1[/math].
В предельном случае при [math]n \to \infty[/math], для первого ряда имеем сумму 1, а второй и так тождественно равен 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Gosrabios
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2018, 21:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Gosrabios,[/math]
В конце концов понял Ваша сумма!
1) для [math]n=1 - \sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2+k} }\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k=1}^{2}\frac{ 1 }{ \sqrt{1^2+k} }=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math];
2)для[math]n=2 -\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2+k} }\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k=1}^{3}\frac{ 1 }{ \sqrt{2^2+k} }=\frac{ 1 }{ \sqrt{5} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{7} }[/math];
[math]\cdot \cdot \cdot[/math] ;
10)для [math]n=10 -\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2+k} }\Rightarrow[/math] [math]\sum\limits_{k=1}^{111}\frac{ 1 }{ \sqrt{10^2+k} }=\frac{ 1 }{ \sqrt{101} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{102} } + \cdot \cdot \cdot + \frac{ 1 }{ \sqrt{111} } <11 \cdot \frac{ 1 }{ 10 } =\frac{ 11 }{ 10 }[/math];
[math]\cdot \cdot \cdot[/math]
[math]\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } = \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + 1 }} + \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + 2 }}+ \cdot \cdot \cdot +\frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 +n+ 1 }}<(n+1) \cdot \frac{ 1 }{ n }= \frac{ n+1 }{ n } = 1+\frac{ 1 }{ n }[/math]
так что действительно
[math]\lim_{n \to \infty }\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } \leqslant \lim_{n \to \infty }(1+\frac{ 1 }{ n }) =1[/math]
С другой сторону
[math]\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } \geqslant \frac{ n+1 }{ \sqrt{n^2+n+1} }[/math]
но [math]\lim_{n \to \infty } \frac{ n+1 }{ \sqrt{n^2+n+1} } = \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 }{ \sqrt{1 - \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } } } = 1[/math], так что
[math]\lim_{n \to \infty }\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{ 1 }{ \sqrt{n^2 + k} } = 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Gosrabios
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2018, 13:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2719
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
835 раз в 668 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Явная опечатка - под корнем должно быть [math]k^2[/math] вместо [math]k[/math].

Тогда, отбрасывая последнее слагаемое (оно б.мало), получим
[math]\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}}[/math], а это интегральная сумма для функции [math]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/math] на отрезке [math][0;1].[/math]

Поэтому [math]\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}=\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(1+\sqrt2)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Gosrabios
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел взвешенной суммы

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

max_korostelev

1

127

01 авг 2020, 14:46

Предел суммы ряда

в форуме Ряды

dmitri_shikovich

4

186

30 окт 2019, 22:52

Предел суммы ряда

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Even_Dark

7

442

06 май 2022, 18:31

Найти предел тригонометрической суммы

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

progphp

8

518

26 май 2015, 09:08

Вычислить интеграл как предел интегральной суммы

в форуме Интегральное исчисление

Kayito

1

187

03 июн 2020, 07:49

Предел отношения суммы к числу членов последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kektus

8

440

25 окт 2017, 18:21

Степенные суммы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Coldunox

1

307

13 мар 2018, 18:35

Огрубление суммы

в форуме Ряды

Misterio

9

1261

06 апр 2018, 12:10

Конгруэнтность суммы

в форуме Теория чисел

Cocoa_lapin

1

418

10 дек 2015, 18:57

Степень суммы

в форуме Теория чисел

7alek7

35

330

03 июл 2023, 01:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved