Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Arthur0905 |
|
|
Нужно было доказать, что [math]\lim_{n \to\infty} n!^{-\frac{ 1 }{ n } }[/math] [math]= 0[/math] Я свел задачу к тому, что теперь нужно доказать неравенство [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math] < [math]\sqrt{n}[/math] (пробовал индукцию, но не вышло). Буду благодарен за любую помощь! (Если не удастся решить неравенство, можете предложить другие методы решения основной задачи). |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
1) [math]\lim_{n \to \infty } n!^{-\frac{ 1 }{ n } } = \frac{ 1 }{ \lim_{n \to \infty } n!^{\frac{ 1 }{ n } } } ;[/math]
2) [math]n!^{\frac{ 1 }{ n } }[/math] , это средное геометрическое чисел [math]1,2,...,n;[/math] 3) средное геометрическое чисел всегда [math]\geqslant[/math] их средное гармоническое т.е. [math]n!^{\frac{ 1 }{ n } } \geqslant \frac{ n }{ 1 + \frac{ 1 }{ 2 }+ ... + \frac{ 1 }{ n } }[/math]; 4)Так, что [math]\Rightarrow \lim_{n \to \infty }n!^{-\frac{ 1 }{ n } } =[/math][math]\frac{ 1 }{ \lim_{n \to \infty } n!^{\frac{ 1 }{ n } } } \leqslant \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 + \frac{ 1 }{ 2 }+ ... + \frac{ 1 }{ n } }{ n };[/math] 5) Тогда остается доказать что [math]\lim_{n \to \infty } \frac{ 1 + \frac{ 1 }{ 2 }+ ... + \frac{ 1 }{ n } }{ n } = 0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Arthur0905 писал(а): Доброго времени суток! Столкнулся с такой задачей: Нужно было доказать, что [math]\lim_{n \to\infty} n!^{-\frac{ 1 }{ n } }[/math] [math]= 0[/math] Я свел задачу к тому, что теперь нужно доказать неравенство [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math] < [math]\sqrt{n}[/math] (пробовал индукцию, но не вышло). Буду благодарен за любую помощь! (Если не удастся решить неравенство, можете предложить другие методы решения основной задачи). Покажите как пробовали индукцию. Доказывается там очень просто. Не видно, где могут возникнуть затруднения. |
||
Вернуться к началу | ||
Arthur0905 |
|
|
swan писал(а): Arthur0905 писал(а): Доброго времени суток! Столкнулся с такой задачей: Нужно было доказать, что [math]\lim_{n \to\infty} n!^{-\frac{ 1 }{ n } }[/math] [math]= 0[/math] Я свел задачу к тому, что теперь нужно доказать неравенство [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math] < [math]\sqrt{n}[/math] (пробовал индукцию, но не вышло). Буду благодарен за любую помощь! (Если не удастся решить неравенство, можете предложить другие методы решения основной задачи). Покажите как пробовали индукцию. Доказывается там очень просто. Не видно, где могут возникнуть затруднения. Положим [math]a_{n}[/math]= [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math] 1)n [math]= 9[/math] , 2.9 [math]< 3[/math] 2)n [math]= k[/math] , [math]a_{k}[/math] [math]< \sqrt{k}[/math] 3)n [math]= k + 1[/math] , доказать что [math]a_{k + 1}[/math] [math]< \sqrt{k + 1}[/math] [math]a_{k + 1}[/math] [math]= a_{k} + \frac{ 1 }{ k + 1 }[/math] [math]< \sqrt{k} + \frac{ 1 }{ k + 1 }[/math] А дальше не догадываюсь как. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
[math]\sqrt k +\frac1{k+1}<\sqrt{k+1}[/math]
[math]\frac1{k+1}<\sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k} \Leftrightarrow k+1>\sqrt{k+1}+\sqrt k[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Andy, Arthur0905 |
||
FEBUS |
|
|
Arthur0905
А про формулу Стирлинга не слышали? Это простое следствие. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |