Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Гармонический ряд и предел
СообщениеДобавлено: 14 июл 2018, 16:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 04:02
Сообщений: 34
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток! Столкнулся с такой задачей:
Нужно было доказать, что [math]\lim_{n \to\infty} n!^{-\frac{ 1 }{ n } }[/math] [math]= 0[/math]

Я свел задачу к тому, что теперь нужно доказать неравенство [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math] < [math]\sqrt{n}[/math] (пробовал индукцию, но не вышло).

Буду благодарен за любую помощь! (Если не удастся решить неравенство, можете предложить другие методы решения основной задачи).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гармонический ряд и предел
СообщениеДобавлено: 14 июл 2018, 18:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) [math]\lim_{n \to \infty } n!^{-\frac{ 1 }{ n } } = \frac{ 1 }{ \lim_{n \to \infty } n!^{\frac{ 1 }{ n } } } ;[/math]
2) [math]n!^{\frac{ 1 }{ n } }[/math] , это средное геометрическое чисел [math]1,2,...,n;[/math]
3) средное геометрическое чисел всегда [math]\geqslant[/math] их средное гармоническое т.е. [math]n!^{\frac{ 1 }{ n } } \geqslant \frac{ n }{ 1 + \frac{ 1 }{ 2 }+ ... + \frac{ 1 }{ n } }[/math];
4)Так, что [math]\Rightarrow \lim_{n \to \infty }n!^{-\frac{ 1 }{ n } } =[/math][math]\frac{ 1 }{ \lim_{n \to \infty } n!^{\frac{ 1 }{ n } } } \leqslant \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 + \frac{ 1 }{ 2 }+ ... + \frac{ 1 }{ n } }{ n };[/math]
5) Тогда остается доказать что [math]\lim_{n \to \infty } \frac{ 1 + \frac{ 1 }{ 2 }+ ... + \frac{ 1 }{ n } }{ n } = 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гармонический ряд и предел
СообщениеДобавлено: 14 июл 2018, 23:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Arthur0905 писал(а):
Доброго времени суток! Столкнулся с такой задачей:
Нужно было доказать, что [math]\lim_{n \to\infty} n!^{-\frac{ 1 }{ n } }[/math] [math]= 0[/math]

Я свел задачу к тому, что теперь нужно доказать неравенство [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math] < [math]\sqrt{n}[/math] (пробовал индукцию, но не вышло).

Буду благодарен за любую помощь! (Если не удастся решить неравенство, можете предложить другие методы решения основной задачи).

Покажите как пробовали индукцию. Доказывается там очень просто. Не видно, где могут возникнуть затруднения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гармонический ряд и предел
СообщениеДобавлено: 15 июл 2018, 10:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 04:02
Сообщений: 34
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Arthur0905 писал(а):
Доброго времени суток! Столкнулся с такой задачей:
Нужно было доказать, что [math]\lim_{n \to\infty} n!^{-\frac{ 1 }{ n } }[/math] [math]= 0[/math]

Я свел задачу к тому, что теперь нужно доказать неравенство [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math] < [math]\sqrt{n}[/math] (пробовал индукцию, но не вышло).

Буду благодарен за любую помощь! (Если не удастся решить неравенство, можете предложить другие методы решения основной задачи).

Покажите как пробовали индукцию. Доказывается там очень просто. Не видно, где могут возникнуть затруднения.




Положим [math]a_{n}[/math]= [math]\frac{ 1 }{ 1 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]+[math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]+...+[math]\frac{ 1 }{ n }[/math]
1)n [math]= 9[/math] , 2.9 [math]< 3[/math]
2)n [math]= k[/math] , [math]a_{k}[/math] [math]< \sqrt{k}[/math]
3)n [math]= k + 1[/math] , доказать что [math]a_{k + 1}[/math] [math]< \sqrt{k + 1}[/math]

[math]a_{k + 1}[/math] [math]= a_{k} + \frac{ 1 }{ k + 1 }[/math] [math]< \sqrt{k} + \frac{ 1 }{ k + 1 }[/math]

А дальше не догадываюсь как.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гармонический ряд и предел
СообщениеДобавлено: 15 июл 2018, 11:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sqrt k +\frac1{k+1}<\sqrt{k+1}[/math]

[math]\frac1{k+1}<\sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac1{\sqrt{k+1}+\sqrt k} \Leftrightarrow k+1>\sqrt{k+1}+\sqrt k[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Andy, Arthur0905
 Заголовок сообщения: Re: Гармонический ряд и предел
СообщениеДобавлено: 15 июл 2018, 14:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Arthur0905
А про формулу Стирлинга не слышали?
Это простое следствие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Гармонический осциллятор

в форуме Специальные разделы

letuswedge

3

476

17 янв 2018, 20:54

Почти обобщённый гармонический ряд

в форуме Ряды

neurocore

18

657

24 фев 2017, 11:15

Гармонический анализ. Найти свертку

в форуме Ряды

lpa001

0

75

11 янв 2020, 22:38

Вычислить предел выражения, используя 1 замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

syncedzz

7

377

13 окт 2022, 15:55

Решить предел. Второй замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NuTysya

1

310

21 фев 2023, 09:54

Решить предел. Второй замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NuTysya

10

484

21 фев 2023, 09:55

Предел(1)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

jagdish

3

462

05 фев 2016, 14:43

Предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nata+++

3

545

09 май 2014, 08:26

Предел, что это?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Donald Putin

8

527

21 мар 2020, 06:50

Предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nata+++

7

304

10 май 2014, 19:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved