Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 12:38 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Существует ли пример нестрого выпуклой на интервале функции, при этом ни одна часть графика функции не является отрезком?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 12:49 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Строго выпуклая функция является нестрого выпуклой?
Что есть нестроговыпуклость?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 13:13 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Существует ли пример выпуклой функции на интервале, не являющейся на нём строго выпуклой, при этом ни одна часть графика функции не является отрезком?

Функция [math]f \,\colon \left( 0,\,1 \right) \to \left( 0,\,1 \right)[/math], [math]x \mapsto x[/math] является выпуклой, но не строго выпуклой. Отрезок [math]\left\{\left( x,\,x \right) |\, x \in\left[ \frac{ 1 }{ 4 },\,\frac{ 3 }{ 4 } \right] \right\}[/math] является частью графика функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 13:30 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не существует если для точек [math]x < y < z[/math] будет равенство (вместо строгого неравенства) в соответствующем определении выпуклости, то функция линейна на отрезке [math][x;z][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 15:38 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С этим понятно. А вот если, например, в единственной точке [math]y \in \left( x,\,z \right)[/math] будет равенство? Графически, видно, что функция меняет вид выпуклости. А как это точно доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 16:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_ писал(а):
Существует ли пример выпуклой функции на интервале, не являющейся на нём строго выпуклой

Запишите определение такой функции (уже вам намекали в первом посту) и убедитесь, что такая функция линейна (точнее, аффинна) на некотором отрезке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 16:53 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_ писал(а):
С этим понятно. А вот если, например, в единственной точке [math]y \in \left( x,\,z \right)[/math] будет равенство? Графически, видно, что функция меняет вид выпуклости. А как это точно доказать?

Так я и говорю про единственную тройку точек, остальные точки с отрезка автоматом пойдут, присоединяюсь к предыдущему посту, попробуйте это не сложно доказать, у вас есть всего 4 точки: эти три и случайная с отрезка

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 18:09 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть на промежутке [math]M[/math] прямой функция [math]f[/math] - выпуклая вверх и [math]\left[\, x,\,y\, \right] \subseteq M[/math], тогда верно нестрогое неравенство

[math]f\left( \alpha \, x + \left( 1 - \alpha \right) y \right) \geqslant \alpha \, f\left( x \right) +\left( 1 - \alpha \right) f\left( y \right)[/math] для всех [math]\alpha \in \left[ 0,\, 1 \right][/math]

и пусть существует такое число [math]\alpha ^* \in \left( 0,\,1 \right)[/math] что

[math]f\left( \alpha^* x + \left( 1 - \alpha^* \right) y \right) = \alpha^* f\left( x \right) +\left( 1 - \alpha^* \right) f\left( y \right)[/math].

Нужно доказать, что для любого другого чиса [math]\alpha ^{**} \in \left( 0,\,1 \right)[/math], [math]\alpha ^{**} \ne \alpha ^*[/math] будет также верно равенство

[math]f\left( \alpha^{**} x + \left( 1 - \alpha^{**} \right) y \right) = \alpha^{**} f\left( x \right) +\left( 1 - \alpha^{**} \right) f\left( y \right)[/math].

Записал для того чтобы перед глазами было, может что- нибудь и увижу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 18:16 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
просто представьте себе три точки на прямой, четвертую выше или ниже между ними и ясно, что к какой-то тройке будет противоречие с выпуклостью
Вы же понимаете, что выпуклость (вниз) это просто средней точке быть ниже прямой через другие две проходящей

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пример нестрого выпуклой функции на интервале
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 18:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Строгая монотонность строго выпуклой функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Sasha_

1

258

26 июн 2018, 21:56

Свойство строго возрастающей и строго выпуклой вверх функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Sasha_

2

257

26 июн 2018, 22:27

Непрерывность функции на интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kak_eru_666

4

347

16 окт 2019, 20:32

Колебание функции на интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

e7min

13

505

16 янв 2019, 16:08

Найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SheLdeR_856

9

609

06 май 2018, 18:03

Определить характер монотонности функции на каждом интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

katharsis

0

186

08 июн 2022, 16:29

Пример функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KiruXa

1

521

21 май 2014, 19:31

Привести пример функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

m_chb

3

359

19 май 2015, 22:58

Навести пример функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

StanWhy

8

288

04 окт 2019, 06:28

Привести пример функции

в форуме Дифференциальное исчисление

ifseveaoltaland

3

316

20 ноя 2021, 14:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved