Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
_Sasha_ |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Строго выпуклая функция является нестрого выпуклой?
Что есть нестроговыпуклость? |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
Существует ли пример выпуклой функции на интервале, не являющейся на нём строго выпуклой, при этом ни одна часть графика функции не является отрезком?
Функция [math]f \,\colon \left( 0,\,1 \right) \to \left( 0,\,1 \right)[/math], [math]x \mapsto x[/math] является выпуклой, но не строго выпуклой. Отрезок [math]\left\{\left( x,\,x \right) |\, x \in\left[ \frac{ 1 }{ 4 },\,\frac{ 3 }{ 4 } \right] \right\}[/math] является частью графика функции. |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Не существует если для точек [math]x < y < z[/math] будет равенство (вместо строгого неравенства) в соответствующем определении выпуклости, то функция линейна на отрезке [math][x;z][/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
С этим понятно. А вот если, например, в единственной точке [math]y \in \left( x,\,z \right)[/math] будет равенство? Графически, видно, что функция меняет вид выпуклости. А как это точно доказать?
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
_Sasha_ писал(а): Существует ли пример выпуклой функции на интервале, не являющейся на нём строго выпуклой Запишите определение такой функции (уже вам намекали в первом посту) и убедитесь, что такая функция линейна (точнее, аффинна) на некотором отрезке. |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
_Sasha_ писал(а): С этим понятно. А вот если, например, в единственной точке [math]y \in \left( x,\,z \right)[/math] будет равенство? Графически, видно, что функция меняет вид выпуклости. А как это точно доказать? Так я и говорю про единственную тройку точек, остальные точки с отрезка автоматом пойдут, присоединяюсь к предыдущему посту, попробуйте это не сложно доказать, у вас есть всего 4 точки: эти три и случайная с отрезка |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
Пусть на промежутке [math]M[/math] прямой функция [math]f[/math] - выпуклая вверх и [math]\left[\, x,\,y\, \right] \subseteq M[/math], тогда верно нестрогое неравенство
[math]f\left( \alpha \, x + \left( 1 - \alpha \right) y \right) \geqslant \alpha \, f\left( x \right) +\left( 1 - \alpha \right) f\left( y \right)[/math] для всех [math]\alpha \in \left[ 0,\, 1 \right][/math] и пусть существует такое число [math]\alpha ^* \in \left( 0,\,1 \right)[/math] что [math]f\left( \alpha^* x + \left( 1 - \alpha^* \right) y \right) = \alpha^* f\left( x \right) +\left( 1 - \alpha^* \right) f\left( y \right)[/math]. Нужно доказать, что для любого другого чиса [math]\alpha ^{**} \in \left( 0,\,1 \right)[/math], [math]\alpha ^{**} \ne \alpha ^*[/math] будет также верно равенство [math]f\left( \alpha^{**} x + \left( 1 - \alpha^{**} \right) y \right) = \alpha^{**} f\left( x \right) +\left( 1 - \alpha^{**} \right) f\left( y \right)[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
просто представьте себе три точки на прямой, четвертую выше или ниже между ними и ясно, что к какой-то тройке будет противоречие с выпуклостью
Вы же понимаете, что выпуклость (вниз) это просто средней точке быть ниже прямой через другие две проходящей |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |