Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Свойство строго возрастающей и строго выпуклой вверх функции
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 22:27 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]M[/math] - связанное подмножество в [math]\mathbb{R}[/math] и [math]f \,\colon M \to \mathbb{R}[/math] - строго возрастающая строго выпуклая вверх функция. И пусть [math]x,\,y \in M[/math], [math]x < y[/math], [math]h \in R[/math], [math]h > 0[/math] такие, что и [math]x + h,\,y + h \in M[/math].

Верно ли тогда, что [math]f\left( y + h \right) - f \left( y \right) < f\left( x + h \right) - f \left( x \right)[/math].

Графически данное утверждение видется верным, но точного доказательства не вижу.

Если верно, помогите пожалуйста с доказательством или с учебником. Если не верно, привидите пожалуйста пример.

Цитата:
Следующие условия эквивалентны:
1) [math]f[/math] - выпуклая вверх;
2) [math]f\left( \alpha _1\,x_1+ \alpha _2\,x_2 \right) \geqslant \alpha _1\,f\left( x_1 \right) + \alpha _2\,f \left( x_2 \right)[/math], где [math]x_1,\,x_2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha_1,\, \alpha _2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha _1,\, \alpha _2 \geqslant 0[/math], [math]\alpha _1+ \alpha _2 = 1[/math].

Благодарю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Свойство строго возрастающей и строго выпуклой вверх функции
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 01:24 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В случае, если функция [math]f[/math] - возрастающая, выпуклая вверх, и [math]y=x + h[/math], то доказано нестрогое неравенство [math]f\left( x + 2h \right) - f \left( x + h \right) \leqslant f\left( x + h \right) - f \left( x \right)[/math]. Здесь использовался один из результатов, полученных в доказательстве пользователя Space, приведённого на странице, а именно формула
Space писал(а):
[math]\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geqslant \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3-x_2}[/math]

в ней полагается [math]x_1=x[/math], [math]x_2=x + h[/math] и [math]x_3 = x +2h[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Свойство строго возрастающей и строго выпуклой вверх функции
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 09:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_ писал(а):
Цитата:
Следующие условия эквивалентны:
1) [math]f[/math] - выпуклая вверх;
2) [math]f\left( \alpha _1\,x_1+ \alpha _2\,x_2 \right) \geqslant \alpha _1\,f\left( x_1 \right) + \alpha _2\,f \left( x_2 \right)[/math], где [math]x_1,\,x_2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha_1,\, \alpha _2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha _1,\, \alpha _2 \geqslant 0[/math], [math]\alpha _1+ \alpha _2 = 1[/math].



У вас же условие строгой выпуклости

Следующие условия эквивалентны:
1) [math]f[/math] - строго выпуклая вверх;
2) [math]f\left( \alpha _1\,x_1+ \alpha _2\,x_2 \right) > \alpha _1\,f\left( x_1 \right) + \alpha _2\,f \left( x_2 \right)[/math], где [math]x_1,\,x_2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha_1,\, \alpha _2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha _1,\, \alpha _2 > 0[/math], [math]\alpha _1+ \alpha _2 = 1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
_Sasha_
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Строгая монотонность строго выпуклой функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Sasha_

1

258

26 июн 2018, 21:56

Сумма коэффициентов линейной возрастающей функции

в форуме Алгебра

PolinaVasileva

1

262

10 ноя 2019, 11:54

Пример нестрого выпуклой функции на интервале

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Sasha_

10

648

27 июн 2018, 12:38

Доказать свойство бесконечно большой функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

glebl

2

198

29 ноя 2016, 11:03

Как строго получить второе решение?

в форуме Алгебра

Avgust

15

505

30 янв 2021, 02:32

Божья коровка ползет вверх – 2

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

MurChik

4

249

17 ноя 2022, 10:22

Божья коровка ползет вверх

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

MurChik

21

702

13 ноя 2022, 15:29

Волчок падает острием вверх

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

johnybsraynilol

4

522

03 май 2019, 11:00

Про тело, которое движется вверх

в форуме Механика

Casioo

2

715

22 окт 2017, 17:56

Можно ли строго доказать что у вещественного числа нет перио

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alexshib

5

248

11 окт 2019, 21:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved