Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 18:30 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть задана функция [math]f \,\colon \left[ a,\,b \right)[/math] [math]\to \mathbb{R}[/math], которая
1) непрерывная;
2) возрастающая;
3) выпуклая вверх.
Тогда, данная функция ограничена.

Я считаю, что данное утверждение верно (потому что представить неограниченную функцию, удовлетворяющую данным условиям у меня не получается), но доказать не могу. Пожалуйста, помогите с доказательством или посоветуйте учебник с доказательством, если я прав. Если я не прав, приведите пожалуйста пример. Заранее благодарю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 18:47 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы как будто не хотите думать (я понимаю, что это не так скорее всего, но оно так выглядит)
Вот если забрать условие выпуклости вверх Вы контрпример сможете построить?
А теперь сформулируйте что значит выпуклость вверх и воспользуйтесь этим для доказательства Вашего утверждения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 18:59 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Вот если забрать условие выпуклости вверх Вы контрпример сможете построить?

[math]f \,\colon \left[ -1,\,0 \right) \to \mathbb{R}[/math], [math]x \mapsto -\frac{ 1 }{ x }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 19:15 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
А теперь сформулируйте что значит выпуклость вверх и воспользуйтесь этим для доказательства Вашего утверждения

Следующие условия эквивалентны:
1) [math]f[/math] - выпуклая вверх;
2) [math]f\left( \alpha _1\,x_1+ \alpha _2\,x_2 \right) \geqslant \alpha _1\,f\left( x_1 \right) + \alpha _2\,f \left( x_2 \right)[/math], где [math]x_1,\,x_2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha_1,\, \alpha _2 \in \mathbb{R}[/math], [math]\alpha _1,\, \alpha _2 \geqslant 0[/math], [math]\alpha _1+ \alpha _2 = 1[/math].
3) [math]f''\left( x \right) \geqslant 0[/math] (при наличии второй производной функции [math]f[/math] на интервале [math]\left( a,\, b \right)[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 19:42 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну вот, а все что Вам нужно это [math]{f(v) - a_1f(u)}{a_2} \geqslant f(x)[/math], где [math]u<v[/math] фиксированы, [math]a_1u+a_2x=v[/math]. Это дост ограничение на все x в какой-то окрестности [math]b[/math]
Иными словами берете на графике f две точки, и оставшаяся справа часть лежит под прямой через них проведенную

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
_Sasha_
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 20:28 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я правильно понимаю.
[math]u,\,v,\,x \in \left[ a,\,b \right)[/math], [math]u[/math] и [math]v[/math] - фиксированы, [math]u < v \leqslant x[/math] и [math]f(x) \leqslant \frac{ 1 }{ a_2 } \left( {f(v) - a_1 f(u)} \right)[/math].

Варьируя значения переменных [math]a_1[/math] и [math]a_2[/math] в допустимых значениях ([math]a_1,\,a_2 \geqslant 0[/math] и [math]a_1+a_2=1[/math]) мы можем получать значение переменной [math]x[/math] коль угодно близкое слева к [math]b[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 21:19 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неравенство [math]f(x) \leqslant \frac{ 1 }{ a_2 } \left( {f(v) - a_1 f(u)} \right)[/math] можно переписать и в виде [math]f(x) \leqslant f(v)+ \frac{ a_1 }{ a_2 } \left( {f(v) - f(u)} \right)[/math]. Но даже и здесь непонятно, какой величиной ограничено [math]f(x)[/math], так как дробь [math]\frac{ a_1 }{ a_2 }[/math] может принимать значения от 0 до [math]+\infty[/math], а значит правая часть последнего неравенства может быть и бесконечно большой величиной.

Slon писал(а):
Иными словами берете на графике f две точки, и оставшаяся справа часть лежит под прямой через них проведенную

Уравнение прямой, проходящей, через две точки графика f с абсциссами u и v имеет вид
[math]y=f(u)+\frac{ f(v)-f(u) }{ v-u }(x-u)[/math].
Значит, для [math]x \geqslant v[/math] должно быть
[math]f(x) \leqslant y(x) \leqslant y(b)[/math],
[math]f(x) \leqslant f(u)+\frac{ f(v)-f(u) }{ v-u }(b-u)[/math].
Но в первой строке записано не такое неравенство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 22:28 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_ писал(а):
Пусть задана функция [math]f \,\colon \left[ a,\,b \right)[/math] [math]\to \mathbb{R}[/math], которая
1) непрерывная;
2) возрастающая;
3) выпуклая вверх.
Тогда, данная функция ограничена.


А что если рассмотреть функцию [math]f(x) = \ln{x} , \ \ x \in [1,+\infty)[/math]? Строго выпуклая неограниченная. Или же нужно оговорить, что [math]b[/math] конечно.

Пусть [math]b[/math] конечно. Тогда воспользуемся следующим определением вогнутости (выпуклости вниз):

Пусть точки [math]x_1 < x_2 < x_3[/math] лежат в области определения функции. Тогда на [math](x_1, x_3)[/math] график функции лежит выше секущей, проходящей через [math]x_1[/math] и [math]x_3[/math], следовательно [math]f(x_2) \geqslant f(x_1) + \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} (f(x_3) - f(x_1))[/math], что равносильно:

[math]\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geqslant \frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3-x_1}[/math]

Такая форма записи имеет простое геометрическое истолкование. Секущая через точки [math]x_1, \ x_2[/math] имеет больший наклон (тангенс угла наклона), чем секущая через [math]x_1, \ x_3[/math]. Попробуйте нарисовать.

Неравенство переписывается в виде [math]\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geqslant \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3-x_2}[/math]. Кстати, из рисунка это совершенно очевидно. Зафиксируем в этом неравенстве [math]x_1 = a, \ x_2 = \frac{a+b}{2}[/math], а [math]x_3[/math] сделаем переменным: [math]x_3 = x \in (x_2, b)[/math]. Тогда:

[math]A = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geqslant \frac{f(x) - f(x_2)}{x-x_2}, \ A = \operatorname{const}[/math]

[math](x-x_2) \cdot A \geqslant f(x) - f(x_2)[/math]

[math]f(x) \leqslant f(x_2) + (x-x_2) \cdot A \leqslant f(x_2) + (b-x_2) \cdot |A| = M = \operatorname{const}[/math]

Таким образом, мы показали, что [math]f(x)[/math] ограничена сверху на [math](x_2, b)[/math]. На [math][a, x_2][/math] она ограничена в силу непрерывности. Кстати, непрерывность следует из выпуклости. Возрастающая функция вдобавок ограничена снизу на [math][a,b)[/math], следовательно просто ограничена.

Прошу прощения, что использовал другое определение. Мне так было проще сообразить. Думаю, не составит труда показать, что использованное определение равносильно приведенному Вами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
_Sasha_
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 26 июн 2018, 22:58 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Скажите, пожалуйста, если не графически, то как получилось неравенство [math]\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geqslant \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3-x_2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 01:00 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё, разоборался откуда эта формула взялась и с самим доказательством теоремы.

Space писал(а):
Прошу прощения, что использовал другое определение. Мне так было проще сообразить. Думаю, не составит труда показать, что использованное определение равносильно приведенному Вами.

Так это одно и тоже определение.
Space писал(а):
[math]f(x_2) \geqslant f(x_1) + \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} (f(x_3) - f(x_1))[/math]

Его можно переписать в виде
[math]f(x_2) \geqslant \frac{x_3-x_2}{x_3-x_1} f(x_1) + \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} f(x_3)[/math]
вот и
[math]a_1=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}[/math] и [math]a_2= \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}[/math], и [math]x_2=a_1\,x_1+a_2\,x_3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функция непрерывная на интервале ограничена

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rupert Spaira

3

263

19 мар 2022, 01:25

Ограничена ли функция ?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

dina1111

1

495

29 дек 2014, 02:49

Непрерывная функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Derevyashka

5

371

28 окт 2017, 20:43

Непрерывная функция при параметре a

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Bassovsky

12

478

01 окт 2017, 17:02

Существует ли непрерывная функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Zqquiet

1

176

20 дек 2020, 22:15

Непрерывная и не дифференцируемая функция

в форуме Дифференциальное исчисление

mikeSD

2

1507

03 май 2017, 22:39

Непрерывная случайная величина (задана интегральная функция

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Maxim30rus

8

516

07 янв 2017, 15:02

Убывающая или возрастающая прогрессия

в форуме Ряды

TeorVer

0

217

30 дек 2015, 05:10

Выпуклая замкнутая оболочка

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Fufirik

3

261

25 мар 2019, 19:52

Волчок падает острием вверх

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

johnybsraynilol

4

522

03 май 2019, 11:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved