Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
lockyst |
|
|
Такое задание: Запишите достаточные условия для функции [math]z=-x^{3}+3y^{2}-6xy+45x[/math] в стационарной точке [math]M(-5;-5)[/math] Я вычислил первый и второй миноры, они получились следующими: [math]\Delta _{1}=30[/math] [math]\Delta _{2}=\begin{vmatrix} 30 & -6 \\ -6 & 6 \end{vmatrix}[/math] т.е. оба главных минора больше нуля Необходимо сделать вывод: В точке [math]M(-5;-5)[/math] функция: Имеет минимум Имеет максимум Не имеет экстремума Требует дополнительного исследования Сразу два последних отбрасываем, потому что они не удовлетворяют достаточному условию Сильвестра. Вот меня терзают сомнения, я колеблюсь между минимумом и максимумом, потому что на лекции я не совсем понял условия. Помогите пожалуйста Последний раз редактировалось lockyst 18 июн 2018, 16:53, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
lockyst |
|
|
Саму тему я понял, а вот с определение минимума и максимума у меня проблемы
|
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
lockyst писал(а): оба главных минора больше нуля Значит полный дифференциал функции является положительно определённой квадратичной формой.Но для функции двух переменных достаточное условие формулируется проще. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: lockyst |
||
lockyst |
|
|
mad_math писал(а): lockyst писал(а): оба главных минора больше нуля Значит полный дифференциал функции является положительно определённой квадратичной формой.Но для функции двух переменных достаточное условие формулируется проще. Да, да, это все понятно Я же сказал что на лекции запутанно все объяснили про последний момент Я так понял, что если оба минора положительны, то функция имеет минимум в точке М Если наоборот, то максимум, верно? |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
У Вас
1)[math]z''_{xx} = - 6x[/math]; 2)[math]z''_{yy} = 6[/math]; 3) [math]z''_{xy} = - 6[/math]; Поэтому [math](z''_{xy}(-5,-5))^{2} - z''_{xx}(-5,-5) \cdot z''_{yy}(-5,-5) = (-6)^{2} - (-6 \cdot (-5)) \cdot 6 =36-180=-144 < 0 \land z''_{xx}(-5,-5) =[/math] [math]= - 6 \cdot (- 5) =30 > 0 \Rightarrow[/math] в т.(-5,-5) у ф-я z = -3x^{3} + 3y^{2} - 6xy + 45x[/math] в этой точке есть локальной [math]minimum[/math] P.S. [math](z''_{xy}(-5,-5))^{2} - z''_{xx}(-5,-5) \cdot z''_{yy}(-5,-5) [math]< 0 \land z''_{xx}(-5,-5) > 0[/math] это условия того что в данной точке квадратичная форма будеть положительно определена и в этой точку у ф-я есть локальной [math]minimum[/math] Последний раз редактировалось Tantan 18 июн 2018, 17:37, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: lockyst |
||
lockyst |
|
|
Tantan писал(а): 36−180=−144 Извините, а здесь минус не лишний? Просто получается матрица из получившихся производных второго порядка, которая выглядит следующим образом: [math]\Delta _{2}=\begin{vmatrix} 30 & -6 \\ -6 & 6 \end{vmatrix}[/math] И определитель этой матрицы положителен и равен 144 |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
lockyst писал(а): Если наоборот, то максимум, верно? Что понимается под "наоборот"?Максимум, если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака "минус", в данном случае, если первый минор отрицателен, а второй - положителен. То есть, функция двух переменных имеет экстремум, только если второй минор положителен. Если он равен 0, то необходимо доп. исследование. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: lockyst, pacha |
||
Tantan |
|
|
lockyst писал(а): Извините, а здесь минус не лишний? Нет не лишний! У Вас просто отношение наоборот Вы рассматриваете [math]z ''_{xx} \cdot z ''_{yy} - (z ''_{xy})^{2}[/math] и поэтому у Вас 180 - 36, а я рассматриваю [math](z ''_{xy})^{2} - z ''_{xx} \cdot z ''_{yy}[/math] и поэтому у меня 36 -180. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: lockyst |
||
lockyst |
|
|
Хорошо, т.е. в данном конкретном примере функция в точке М(-5;-5) имеет минимум, я правильно понял?
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
lockyst писал(а): ... в точке М(-5;-5) имеет минимум, я правильно понял? Да-а! Правильно Вы поняли! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: lockyst |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |