Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 16:52 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
19 дек 2017, 16:36
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые знатоки!
Такое задание:
Запишите достаточные условия для функции [math]z=-x^{3}+3y^{2}-6xy+45x[/math] в стационарной точке [math]M(-5;-5)[/math]

Я вычислил первый и второй миноры, они получились следующими:

[math]\Delta _{1}=30[/math]

[math]\Delta _{2}=\begin{vmatrix} 30 & -6 \\ -6 & 6 \end{vmatrix}[/math]

т.е. оба главных минора больше нуля

Необходимо сделать вывод:
В точке [math]M(-5;-5)[/math] функция:
Имеет минимум
Имеет максимум
Не имеет экстремума
Требует дополнительного исследования

Сразу два последних отбрасываем, потому что они не удовлетворяют достаточному условию Сильвестра.
Вот меня терзают сомнения, я колеблюсь между минимумом и максимумом, потому что на лекции я не совсем понял условия. Помогите пожалуйста


Последний раз редактировалось lockyst 18 июн 2018, 16:53, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 16:53 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
19 дек 2017, 16:36
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Саму тему я понял, а вот с определение минимума и максимума у меня проблемы

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 17:15 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lockyst писал(а):
оба главных минора больше нуля
Значит полный дифференциал функции является положительно определённой квадратичной формой.
Но для функции двух переменных достаточное условие формулируется проще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
lockyst
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 17:18 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
19 дек 2017, 16:36
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
lockyst писал(а):
оба главных минора больше нуля
Значит полный дифференциал функции является положительно определённой квадратичной формой.
Но для функции двух переменных достаточное условие формулируется проще.


Да, да, это все понятно
Я же сказал что на лекции запутанно все объяснили про последний момент
Я так понял, что если оба минора положительны, то функция имеет минимум в точке М
Если наоборот, то максимум, верно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 17:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У Вас
1)[math]z''_{xx} = - 6x[/math];
2)[math]z''_{yy} = 6[/math];
3) [math]z''_{xy} = - 6[/math];
Поэтому [math](z''_{xy}(-5,-5))^{2} - z''_{xx}(-5,-5) \cdot z''_{yy}(-5,-5) = (-6)^{2} - (-6 \cdot (-5)) \cdot 6 =36-180=-144 < 0 \land z''_{xx}(-5,-5) =[/math]
[math]= - 6 \cdot (- 5) =30 > 0 \Rightarrow[/math] в т.(-5,-5) у ф-я z = -3x^{3} + 3y^{2} - 6xy + 45x[/math] в этой точке есть локальной [math]minimum[/math]

P.S.
[math](z''_{xy}(-5,-5))^{2} - z''_{xx}(-5,-5) \cdot z''_{yy}(-5,-5) [math]< 0 \land z''_{xx}(-5,-5) > 0[/math] это условия того что в данной точке квадратичная форма будеть положительно определена и в этой точку у ф-я есть
локальной [math]minimum[/math]


Последний раз редактировалось Tantan 18 июн 2018, 17:37, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
lockyst
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 17:31 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
19 дек 2017, 16:36
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
36−180=−144

Извините, а здесь минус не лишний?
Просто получается матрица из получившихся производных второго порядка, которая выглядит следующим образом:
[math]\Delta _{2}=\begin{vmatrix} 30 & -6 \\ -6 & 6 \end{vmatrix}[/math]
И определитель этой матрицы положителен и равен 144

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 17:41 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lockyst писал(а):
Если наоборот, то максимум, верно?
Что понимается под "наоборот"?
Максимум, если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака "минус", в данном случае, если первый минор отрицателен, а второй - положителен.
То есть, функция двух переменных имеет экстремум, только если второй минор положителен. Если он равен 0, то необходимо доп. исследование.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
lockyst, pacha
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 17:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lockyst писал(а):
Извините, а здесь минус не лишний?

Нет не лишний! У Вас просто отношение наоборот Вы рассматриваете
[math]z ''_{xx} \cdot z ''_{yy} - (z ''_{xy})^{2}[/math] и поэтому у Вас 180 - 36, а я рассматриваю
[math](z ''_{xy})^{2} - z ''_{xx} \cdot z ''_{yy}[/math] и поэтому у меня 36 -180.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
lockyst
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 17:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
19 дек 2017, 16:36
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хорошо, т.е. в данном конкретном примере функция в точке М(-5;-5) имеет минимум, я правильно понял?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Стационарные точки функции
СообщениеДобавлено: 18 июн 2018, 18:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lockyst писал(а):
... в точке М(-5;-5) имеет минимум, я правильно понял?

Да-а! Правильно Вы поняли!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
lockyst
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Точки разрыва функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

blondalexa

1

198

22 янв 2016, 00:17

Точки разрыва функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Dmitry192

17

388

01 янв 2020, 12:00

Точки разрыва функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

seraphimt

1

342

19 июл 2015, 02:42

Особые точки функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Gosrabios

1

149

08 апр 2020, 21:42

Точки перегиба функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

2

279

25 янв 2016, 09:31

Точки разрыва и график функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

denis1999

2

327

02 ноя 2018, 12:59

Найти точки разрыва функции f (x)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KamaR

1

229

28 сен 2020, 18:17

Найти точки разрыва функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

elsa

1

375

11 апр 2017, 19:17

Найти точки экстремума функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Help_

0

146

21 фев 2022, 19:38

Как найти критические точки функции y=2/x-x^2

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

plotzip

4

796

19 май 2016, 18:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 37


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved