Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:12 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть задание вычислить предел, данное в теме дифференциальных исчислений:
[math]\lim_{x \to 0} (\cos{x})^{{ctg}^{2}(x) }[/math]

При [math]x = 0[/math] получаю [math](\cos{0})^{(\frac{\cos{0}}{\sin{0}})^{2} }=(1)^{(\frac{1}{0})^{2} }[/math].

Предел [math]\lim \frac{1}{0}=\infty[/math], [math]\infty ^ {2} = \infty[/math], =>, [math](1)^{(\frac{1}{0})^{2} }= 1^{\infty}[/math]?

[math]1^{\infty}[/math] - относится же ко 2-му замечательному пределу? Хотя, здесь он в другой форме записан.

А как его вычислить опираясь на знания о производной? :unknown:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:25 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте вычислить сначала предел натурального логарифма от выражения под знаком предела. Правило Лопиталя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
Laplacian
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]cosx^{ctg^2x}=e^{ctg^2x\cdot lncosx}[/math]. Осталось найти предел [math]ctg^2x\cdot lncosx=\frac{ cos^2x\cdot lncosx}{ sin^2x } \to \frac{ lncosx }{ sin^2x } \to \frac{ -sinx }{ cosx2sinxcosx } \to -\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Ответ: [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{e} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Laplacian
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:30 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, не совсем понял, так [math]\lim_{x \to 0}\ln{((\cos{x})^{{ctg}^{2}(x)})}[/math]?

Правило Лопиталя же применяется для неопределенности вида [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math] или [math]\frac{ \infty }{ \infty }[/math] ?

michel, это использование второго замечательного предела?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Где Вы видите у меня второй замечательный предел??? Это Лопиталь в самом чистом виде, который был применен к выражению к показателю экспоненты после замены котангенса на отношение косинуса к синусу.
venjar предложил именно этот способ. Найдя логарифм исходного предела, можно восстановить его потенцированием!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Laplacian
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:44 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, теперь немного понял, что мы получили в показателе неопределенность [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math], после чего применили правило.

Подскажите, как называется вид замены: [math]cosx^{ctg^2x}=e^{ctg^2x\cdot lncosx}[/math] ?

Основное логарифмическое тождество?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По школьному - переход к новому основанию показательного выражения (логарифмирование+потенцирование).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:50 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, а если написать:
по определению основного логарифмического тождества, [math]a^{\log_{a}{b}}=b[/math], выполним преобразование [math]cosx^{ctg^2x}=e^{ctg^2x\cdot lncosx}[/math]?

Это некорректно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, я так и написал, почему считаете, что это некорректно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Laplacian
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление предела в теме дифференциальных исчислений
СообщениеДобавлено: 11 июн 2018, 23:56 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, тогда отлично, просто хотел сформулировать так, как я это понимаю. Огромное спасибо Вам и venjar.

Эх, "видеть" бы самому эти преобразования :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Artyom_st

1

206

16 дек 2014, 18:04

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SoffoS

1

208

18 окт 2018, 20:10

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anasta96

4

462

18 янв 2015, 03:12

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kurivyan

4

261

10 ноя 2022, 20:01

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Laplacian

7

510

08 июн 2018, 11:46

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mac321

6

885

17 июл 2018, 16:56

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alexandrkamarov

1

216

25 ноя 2014, 23:47

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Cr0ss

1

336

17 ноя 2014, 20:33

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sergey_i

10

936

11 окт 2014, 13:02

Вычисление предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Xaerok

1

312

14 окт 2014, 13:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved