Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Laplacian |
|
|
[math]\lim_{x \to 0} (\cos{x})^{{ctg}^{2}(x) }[/math] При [math]x = 0[/math] получаю [math](\cos{0})^{(\frac{\cos{0}}{\sin{0}})^{2} }=(1)^{(\frac{1}{0})^{2} }[/math]. Предел [math]\lim \frac{1}{0}=\infty[/math], [math]\infty ^ {2} = \infty[/math], =>, [math](1)^{(\frac{1}{0})^{2} }= 1^{\infty}[/math]? [math]1^{\infty}[/math] - относится же ко 2-му замечательному пределу? Хотя, здесь он в другой форме записан. А как его вычислить опираясь на знания о производной? |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Попробуйте вычислить сначала предел натурального логарифма от выражения под знаком предела. Правило Лопиталя.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали: Laplacian |
||
michel |
|
|
[math]cosx^{ctg^2x}=e^{ctg^2x\cdot lncosx}[/math]. Осталось найти предел [math]ctg^2x\cdot lncosx=\frac{ cos^2x\cdot lncosx}{ sin^2x } \to \frac{ lncosx }{ sin^2x } \to \frac{ -sinx }{ cosx2sinxcosx } \to -\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Ответ: [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{e} }[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Laplacian |
||
Laplacian |
|
|
venjar, не совсем понял, так [math]\lim_{x \to 0}\ln{((\cos{x})^{{ctg}^{2}(x)})}[/math]?
Правило Лопиталя же применяется для неопределенности вида [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math] или [math]\frac{ \infty }{ \infty }[/math] ? michel, это использование второго замечательного предела? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Где Вы видите у меня второй замечательный предел??? Это Лопиталь в самом чистом виде, который был применен к выражению к показателю экспоненты после замены котангенса на отношение косинуса к синусу.
venjar предложил именно этот способ. Найдя логарифм исходного предела, можно восстановить его потенцированием! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Laplacian |
||
Laplacian |
|
|
michel, теперь немного понял, что мы получили в показателе неопределенность [math]\frac{ 0 }{ 0 }[/math], после чего применили правило.
Подскажите, как называется вид замены: [math]cosx^{ctg^2x}=e^{ctg^2x\cdot lncosx}[/math] ? Основное логарифмическое тождество? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
По школьному - переход к новому основанию показательного выражения (логарифмирование+потенцирование).
|
||
Вернуться к началу | ||
Laplacian |
|
|
michel, а если написать:
по определению основного логарифмического тождества, [math]a^{\log_{a}{b}}=b[/math], выполним преобразование [math]cosx^{ctg^2x}=e^{ctg^2x\cdot lncosx}[/math]? Это некорректно? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Ну, я так и написал, почему считаете, что это некорректно?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Laplacian |
||
Laplacian |
|
|
michel, тогда отлично, просто хотел сформулировать так, как я это понимаю. Огромное спасибо Вам и venjar.
Эх, "видеть" бы самому эти преобразования |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |