Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 02 июн 2018, 17:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решать задачу: вычислить [math]\log_{2}({1+\sin{\frac{ 1 }{ 10 } } })[/math] с точностью до 0.01. Я сначала решил простым разложением в ряд и воспользовался критерием, что складывать члены нужно пока по модулю они больше заданной точности, но преподаватель сказал что так не пойдет (почему-то??) и посоветовал решить с помощью остаточного члена в форме Лагранжа. В интернете я нигде не нашел примера подобного решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 02 июн 2018, 21:06 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня дежавю? Или Вы уже поднимали этот самый вопрос?

Ведь уже почти решили. Оставалось разобраться с логарифмом [math]2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 03 июн 2018, 09:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space
Да, с логарифмом 2 мне сказали, что это значение очень часто используется и можно посчитать его на калькуляторе, а вот знаменатель нужно решить через остаточный член в форме Лагранжа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 03 июн 2018, 11:07 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\ln (1+y) = y + r(y)[/math]
[math]r(y)[/math] — остаток. Запишем его в форме Лагранжа:

[math]r(y) = \frac{y^2}{2} \cdot \left.{ ( \ln (1+t) )'' }\right|_{t = \theta y} = - \frac{y^2}{2} \cdot \frac{1}{(1+ \theta y)^2}[/math], где [math]0 < \theta < 1[/math]

Полагаем [math]y = \sin \frac{1}{10}[/math], тогда [math]0 < y < \frac{1}{10}[/math]. Оцениваем остаток:

[math]|r(y)| < \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10^2} = \frac{1}{200}[/math]

Таким образом, [math]\ln \left( 1+\sin \frac{1}{10} \right) = \sin \frac{1}{10} \pm \frac{1}{200}[/math]

Осталось найти [math]\sin \frac{1}{10}[/math]. Для этого воспользуемся формулой Тейлора для синуса:
[math]\sin x = x + q(x)[/math]
Попытайтесь оценить остаток [math]q(x)[/math] при [math]x = \frac{1}{10}[/math] аналогично оценке [math]r(y)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 17:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space
Честно говоря, я не совсем понял выкладок и оценок :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 18:20 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я сделал, что мог. Не вижу, в чем заключается проблема. Есть формула Тейлора. Есть формула для остаточного члена в форме Лагранжа. Достаточно подставить в них рассматриваемые функции и получить эти оценки.

evlucid писал(а):
я не совсем понял выкладок

Напишите конкретнее, какой переход непонятен. Не может быть, чтобы было непонятно ВСЕ. А если так, то я ничем не могу помочь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 16:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Полагаем y=sin1/10
, тогда 0<y<110
0<y<1/10
. Оцениваем остаток:

|r(y)|<1/2⋅1/10^2=1/200

Ну вот тут не совсем понятно почему r(y) < 1/2 * 1/10^2. Откуда берется это неравенство?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 17:25 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из элементарных арифметических соображений. В выражении [math]- \frac{y^2}{2}\cdot \frac{1}{(1+ \theta y)^2}[/math] заменяем [math]\theta[/math] на [math]0[/math], а [math]y[/math] на [math]\frac{1}{10}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 18:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space
А здесь где нибудь учитывается точность с которой нужно вычислить значение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить значение функции с помощью остаточного члена
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 18:30 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока нет. Но если довести решение до конца, то можно будет оценить погрешность, которая окажется меньше допустимой. То есть, вообще говоря, это метод проб и ошибок.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить значение функции с помощью разложения в ряд

в форуме Ряды

photographer

1

294

24 июн 2015, 14:31

Вычислить значение функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alrc

1

214

19 май 2020, 21:49

Вычислить значение функции

в форуме Ряды

351w

3

152

16 дек 2019, 19:24

Вычислить значение функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

nikpasternak

8

423

19 сен 2018, 16:34

Вычислить значение функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alrc

11

504

19 май 2020, 21:24

Вычислить значение функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

whiiite

1

136

08 окт 2019, 21:37

Вычислить значение функции f(z) в точке z0

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

dddd

5

2566

11 май 2014, 16:25

Вычислить значение симметрической функции

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

weeb

3

428

05 янв 2021, 23:46

Вычислить значение функции f(x) с точностью до 0,001

в форуме Ряды

rmx01void

7

212

01 окт 2021, 10:53

Вычислить значение функции в точке х(0)=4

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Evgeshagesha

8

630

15 июл 2015, 07:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved