Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство Йенсена
СообщениеДобавлено: 21 май 2018, 19:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привет! Я уже давно задавал вопрос как доказать данное неравенство: [math]\frac{ \operatorname{shx} + \operatorname{shy} }{ 2 }[/math] < [math]\operatorname{sh\frac{ x + y }{ 2 } }[/math] (x,y<0, x ≠ y). Мне посоветовали неравенство Йенсона, но мы в университете такого не проходили и загуглив его я нашел только доказательство неравенств сумм, которые тоже мне не совсем понятны. Если не сложно, то пожалуйста расскажите как конкретно нужно это неравенство применять, желательно на примере. Спасибо!


Последний раз редактировалось Andy 21 май 2018, 19:37, всего редактировалось 1 раз.
Название темы в заголовке исправлено модератором.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсона
СообщениеДобавлено: 21 май 2018, 19:34 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Производную и выпуклость Вы проходили?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсона
СообщениеДобавлено: 21 май 2018, 19:37 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evlucid
Вам для информации: Неравенство Йенсена. Обратите внимание на написание фамилии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсена
СообщениеДобавлено: 21 май 2018, 20:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evlucid писал(а):
то пожалуйста расскажите как конкретно нужно это неравенство применять

А записать для начала вы его сможете?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсена
СообщениеДобавлено: 22 май 2018, 21:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Не уверен

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсена
СообщениеДобавлено: 22 май 2018, 21:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\operatorname{sh}{x}+\operatorname{sh}{y}<2\operatorname{sh}{\frac{ 1 }{ 2 } \left( x+y \right) }[/math]

А не пробовали применить формулы для гиперболических функций?

sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y

sh x + sh y = 2 sh ½(x + y) ch ½(x - y)

****************************************

2 sh ½(x + y) ch ½(x - y) < 2 sh ½(x + y)

2 sh ½(x + y) [ch ½(x - y) - 1] < 0

2 sh ½(x + y) [ch ½(x - y) - 1] < 0


Последний раз редактировалось sergebsl 22 май 2018, 22:14, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсена
СообщениеДобавлено: 22 май 2018, 22:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evlucid писал(а):
searcher
Не уверен

Для вашего случая достаточно упрощённого неравенства Йенсена. Если [math]p(x)[/math] - функция выпукла вверх, то [math]p\left( \frac{x+y}{2}\right) \geqslant \frac{p(x)+p(y)}{2}[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсена
СообщениеДобавлено: 22 май 2018, 22:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evlucid,
1)Неравенства, Йоганна Л.Йенсена гласит,что если ф-я [math]f(x)[/math] выпукла на некотором интервале, [math]x_{1},x_{2}, ..., x_{n}[/math], произвольные числа из этого интервала, а [math]\alpha_{1}, \alpha_{2}, ...,\alpha_{n}[/math], произвольные положительные числа и [math]\alpha_{1} + \alpha_{2} + ... +\alpha_{n}= 1[/math] , тогда
[math]f(\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + ... +\alpha_{n}x_{n} )\leqslant \alpha_{1}f(x_{1} ) + \alpha_{2}f(x_{2} + ... + \alpha_{n}f(x_{n} ))[/math], а если ф-я[math]f(x)[/math] вогнута , то
[math]f(\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + ... +\alpha_{n}x_{n} ) \geqslant \alpha_{1}f(x_{1} ) + \alpha_{2}f(x_{2}) + ... + \alpha_{n}f(x_{n} )[/math];
2) Каждая дваждые дифференцируеммая ф-я [math]f(x)[/math], выпукла на даанном интервале, если в этом интервале [math]f''(x) \geqslant 0[/math] и вогнута на этом интервале, если [math]f''(x) \leqslant 0[/math];
3) Для ф-я [math]\operatorname{sh}x[/math], имеем [math](\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x[/math] и
[math](\operatorname{sh}x)'' = (\operatorname{ch}x)' =\operatorname{sh}x[/math], а для [math]x < 0, \operatorname{sh}x < 0[/math] , так что [math]\operatorname{sh}x[/math] вогнута для [math]x\in (- \infty ,0)[/math] и тогда по неравенства Йенсена [math]\Rightarrow \alpha_{1} = \alpha_{2} = \frac{ 1 }{ 2 }, x_{1}=x, x_{2} = y \Rightarrow f(\frac{ x+y }{ 2 }) =\operatorname{sh}\frac{ x+y }{ 2 } > \frac{ 1 }{ 2 }\operatorname{sh}x + \frac{ 1 }{ 2 }\operatorname{sh}y = \frac{ \operatorname{sh}x + \operatorname{sh}y}{ 2 }[/math] , что и требовало доказать .
P.S. Здес в 3) пишем [math]'>'[/math] вместо [math]'\geqslant '[/math] , так как на данном интервале [math]\operatorname{sh}x[/math] не только вогнута, а строго вогнута [math](\operatorname{sh}x < 0 ).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
evlucid, sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство Йенсена
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 16:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 май 2018, 16:12
Сообщений: 37
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan
Спасибо вам большое за подробное объяснение, вроде как с этим случаем разобрался!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство

в форуме Алгебра

evija220

3

249

08 май 2015, 19:24

Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

swan

4

605

02 авг 2015, 10:24

Неравенство

в форуме Алгебра

szafranji

2

142

29 май 2019, 22:42

Неравенство

в форуме Алгебра

SERGEYATAKA

3

274

22 авг 2015, 13:29

Неравенство

в форуме Алгебра

sfanter

8

534

27 май 2014, 21:23

Неравенство

в форуме Алгебра

SERGEYATAKA

1

294

23 авг 2015, 14:57

Неравенство

в форуме Алгебра

tanyhaftv

4

159

25 окт 2018, 14:05

Неравенство

в форуме Алгебра

Ramdesu

11

287

16 июл 2018, 12:09

Неравенство

в форуме Алгебра

VladGreen

10

413

14 июл 2018, 20:32

Неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

pohoroni

2

517

17 сен 2015, 17:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved