Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Монотонные функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=59397
Страница 2 из 3

Автор:  searcher [ 24 апр 2018, 13:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

Выскажу своё мнение относительно спора между Human и FEBUS.
1) Утверждение ТС
Mathnope писал(а):
Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех x [math]\in[/math] (a;b)
f[math]^{|}[/math](x) [math]\geqslant[/math] 0(f[math]^{|}[/math](x) [math]\leqslant[/math] 0)

верно.
2) Это утверждение является необходимым условием для возрастания (убывания) дифференцируемой функции.
Утверждение FEBUSа
FEBUS писал(а):
Нет. Это условие для неубывающей (невозрастающей) на (a;b) функции.

неверно.
Неверно в смысле слова "Нет". Второе предложение в высказывании, взятое само по себе, верно.
Если бы следующее утверждение FEBUSa
FEBUS писал(а):
Правильно так.
Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех x ∈ (a;b)
f'(x) ⩾ 0 ( f'(x) ⩽ 0) и множество точек, где f'(x) = 0, не более, чем счетно.

было бы верно, то оно также было необходимым условием возрастания (убывания) функции. Только более сильным, чем рассмотренное раннее. У одного утверждения могут быть разные необходимые условия.

Автор:  searcher [ 24 апр 2018, 13:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

FEBUS писал(а):
Ошибаетесь.Канторова лестница непрерывна, но не дифференцируема.Она имеет производную равную нулю почти всюду, но на (a;b).

Про канторову лестницу Human не писал.

Автор:  FEBUS [ 24 апр 2018, 13:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

searcher писал(а):
У одного утверждения могут быть разные необходимые условия.

С этим не поспоришь.
searcher писал(а):
Про канторову лестницу Human не писал.

А про что же?
Функция, производная которой обращается в нуль в точках канторова множества - это что?


Что такое ТС?

Автор:  searcher [ 24 апр 2018, 14:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

FEBUS писал(а):
А про что же?Функция, производная которой обращается в нуль в точках канторова множества - это что?

А я не знаю, про что он писал. Вы дали некоторое утверждение без доказательства. Он намекнул на существование некоторого контрпримера к нему. Я тут не компетентен.
Возвращаясь к задаче топик-стартера:
Mathnope писал(а):
1)Сформулировать необходимое условие возрастания функции на интервале.2)Сформулировать необходимое условие убывания функции на интервале.

Может такое подойдёт:
Если функция возрастает (убывает) на интервале, то функция дифференцируема почти всюду на интервале и её производная не убывает (не возрастает).

Автор:  searcher [ 24 апр 2018, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

FEBUS писал(а):
Что такое ТС?

Это зачинатель темы (топик-стартер).

Автор:  FEBUS [ 24 апр 2018, 14:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

searcher писал(а):
Я тут не компетентен.

Ключевая фраза.

Автор:  Andy [ 24 апр 2018, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

Mathnope
Вот что писал в своём учебнике Г. М. Фихтенгольц:

Изображение

Автор:  Human [ 24 апр 2018, 16:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

FEBUS писал(а):
searcher писал(а):
Про канторову лестницу Human не писал.

А про что же?
Функция, производная которой обращается в нуль в точках канторова множества - это что?

Вы же сами сказали, что канторова лестница не дифференцируема. Почему тогда решили, что я про нее говорю? Мне кажется, с Вашей стороны несколько грубовато априори считать своего оппонента настолько некомпетентным.

Я имел в виду следующее. Возьмем какую-нибудь непрерывную неотрицательную функцию, обращающуюся в нуль в точках канторова множества и только в них. Например, можно на каждом составляющем интервале дополнения к канторову множеству, имеющем длину [math]3^{-n}[/math], рассмотреть параболу, обращающуюся в нуль на концах интервала, вершина которой имеет ординату [math]\frac1n[/math]. Таким образом функция будет задана во всех точках отрезка [math][0;1][/math], кроме точек 2-ого рода канторова множества. Однако несложно показать, что в этих точках функция имеет нулевой предел по текущей области определения (поскольку супремумы парабол стремятся к нулю при [math]n\to\infty[/math]), поэтому ее можно по непрерывности продолжить и на весь отрезок. Первообразная такой функции дает искомый контрпример.

Автор:  Human [ 24 апр 2018, 16:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

FEBUS
Кажется, я понял, что Вы имели в виду. Вы похоже канторовым множеством называете дополнение до отрезка того множества, которое как раз и называют канторовым. Да, я встречал литературу (Натансон), где и то и другое множество называют канторовым (обычно при этом указывают, какое множество имеется в виду, открытое или совершенное). Все же общепринято под канторовым множеством по умолчанию иметь в виду канторово совершенное множество.

Но даже если и так: канторова лестница нестрого возрастает, а я говорил про строго возрастающую функцию.

Автор:  searcher [ 24 апр 2018, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

А если взять интеграл от канторовой лестницы, то что можно сказать о производной этой функции в точках, принадлежащих канторову множеству?

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/