Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Монотонные функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=59397
Страница 1 из 3

Автор:  Mathnope [ 24 апр 2018, 06:48 ]
Заголовок сообщения:  Монотонные функции

1)Сформулировать необходимое условие возрастания функции на интервале.
2)Сформулировать необходимое условие убывания функции на интервале.

Вот это определение подходит для этих двух вопросов???


Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех x [math]\in[/math] (a;b)
f[math]^{|}[/math](x) [math]\geqslant[/math] 0(f[math]^{|}[/math](x) [math]\leqslant[/math] 0)
В интернете есть определения, но мне нужно с презентации преподавателя взять обязательно, для нее других определений не существует..А там больше ничего нет похожего

Автор:  Andy [ 24 апр 2018, 09:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

Mathnope
Подходит.

Автор:  Tantan [ 24 апр 2018, 10:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

А если есть точки в интервале (a;b) в которые функция НЕдифференцируемая в каждой точки? :)
Самые общее :
1) Если для каждые [math]x_{1}, x_{2} \in (a;b) \land x_{1} > x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \geqslant f(x_{2})[/math], то [math]f(x)[/math] возрастает на [math](a;b)[/math] ;
2) Если для каждые [math]x_{1}, x_{2} \in (a;b) \land x_{1} > x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \leqslant f(x_{2})[/math], то [math]f(x)[/math] убывает на [math](a;b)[/math] ;
Ето условие явлеться и достаточного(как между впрочем и условие которые Вы упоменали)!

Автор:  FEBUS [ 24 апр 2018, 10:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

Mathnope писал(а):
Вот это определение подходит для этих двух вопросов???
Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех x ∈ (a;b)
f'(x) ⩾ 0 ( f'(x) ⩽ 0)


Нет. Это условие для неубывающей (невозрастающей) на (a;b) функции.

Правильно так.
Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех x ∈ (a;b)
f'(x) ⩾ 0 ( f'(x) ⩽ 0) и множество точек, где f'(x) = 0, не более, чем счетно.

Автор:  searcher [ 24 апр 2018, 11:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

Mathnope писал(а):
1)Сформулировать необходимое условие возрастания функции на интервале.

Из этого вопроса как-то не следует, что функция необходимо дифференцируема.

Автор:  Andy [ 24 апр 2018, 11:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

searcher
Вопрос и сформулирован иначе. :)

Автор:  searcher [ 24 апр 2018, 11:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

Andy писал(а):
Вопрос и сформулирован иначе.

А в чём вопрос? Если в этом:
Mathnope писал(а):
Вот это определение подходит для этих двух вопросов??? Если дифференцируемая в интервале ...

то не подходит. В пункте 1) и 2) речь идёт просто о функции. И если не говорится о какой функции, то значит функция произвольная. Если бы вопрос был такой
Цитата:
Сформулировать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции на интервале
,
то ответ бы был положительный: да, подходит.

Автор:  Andy [ 24 апр 2018, 11:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

searcher
Видите ли, например, в сообщении автора вопроса нет определений. Тем не менее, мы читаем дальше и даже начинаем что-то обсуждать...

Всё-таки автор вопроса -- школьница, по-моему. Хорошо если она понимает хотя бы интуитивно, что такое функция. Я предположил, что вопрос относится к тому узкому классу функций, которые изучают в средней школе. Все эти функции дифференцируемые.

Автор:  Human [ 24 апр 2018, 12:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

FEBUS писал(а):
Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех x ∈ (a;b)
f'(x) ⩾ 0 ( f'(x) ⩽ 0) и множество точек, где f(x) = 0, не более, чем счетно.

Это неверно: можно построить строго возрастающую дифференцируемую (даже сколь угодно раз дифференцируемую) функцию, производная которой обращается в нуль, например, в точках канторова множества (или любого другого компакта с пустой внутренностью). Вместо это нужно требовать, чтобы множество нулей производной строго монотонной функции имело пустую внутренность.

Ну а вообще некорректно говорить, что сформулированное Mathnope условие неверно, ведь строго монотонные функции ему тоже удовлетворяют. Более точные необходимые условия в стандартные программы ВУЗов не входят, насколько я могу судить по своему опыту.

FEBUS писал(а):
Нет. Это условие для неубывающей (невозрастающей) на (a;b) функции.

В разных пособиях по математике дают разные определения. Кто-то делит их на неубывающие+невозрастающие и возрастающие+убывающие (Фихтенгольц, Зорич, Ильин), а кто-то на (нестрого) монотонные и строго монотонные (Кудрявцев, Тер-Крикоров, Рудин). Мне кажется, что ТС в данном случае имел в виду нестрогую монотонность.

Автор:  FEBUS [ 24 апр 2018, 12:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теория,

Human писал(а):
Это неверно: можно построить строго возрастающую дифференцируемую (даже сколь угодно раз дифференцируемую) функцию, производная которой обращается в нуль, например, в точках канторова множества (или любого другого компакта с пустой внутренностью). Вместо это нужно требовать, чтобы множество нулей производной строго монотонной функции имело пустую внутренность.

Ошибаетесь.
Канторова лестница непрерывна, но не дифференцируема.
Она имеет производную равную нулю почти всюду, но на (a;b).

Кто такой ТС ?

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/