Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 10:23 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
12 май 2016, 15:15
Сообщений: 412
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\lim_{x \to \infty } (\cos{\frac{ m }{ x } } )^x[/math]
Каким способом можно решить этот предел? Какой литературой можно воспользоваться для решения этого предела? Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 10:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно простым рассуждением. При действительном m косинус стремится к единице. А единицу в какую степень ни возводи, она ею же и останется. Поэтому предел равен 1. На графике это хорошо видно:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((cos(5%2Fx))%5Ex,x%3D1..1000)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 11:28 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kicultanya
[math]\lim_{x \to \infty} \left( \cos{\frac{m}{x}}\right)^{x}=\left[ 1^{\infty} \right].[/math]

Такая неопределённость раскрывается путём сведения предела ко второму замечательному.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 11:49 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Можно простым рассуждением. При действительном m косинус стремится к единице. А единицу в какую степень ни возводи, она ею же и останется. Поэтому предел равен 1.

Я не стал бы злоупотреблять "простыми рассуждениями". [math]1 + \frac{1}{x}[/math] тоже к единице стремится при [math]x \to +\infty[/math]. Но вот [math]\left( 1 + \frac{1}{x} \right) ^{x+1} > 2[/math].

Еще, к примеру, если бы показатель степени в данной задаче был [math]x^2[/math], а не [math]x[/math], то предел отнюдь не равнялся бы 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 11:51 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Avgust писал(а):
Можно простым рассуждением.

Если Вам не трудно, покажите, к чему приведут такие рассуждения при вычислении, например, предела [math]\lim_{x \to \infty} \left( \sin{\frac{1}{x}}+\cos{\frac{1}{x}} \right)^x.[/math] Если это сложно, то возьмите хотя бы предел [math]\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x,[/math] для которого правильный результат общеизвестен...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 14:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне кажеться, что дело в том что при действительном [math]m ,[/math] [math]\lim_{x \to \infty } \cos{\frac{ m }{ x } } = \cos{0} = 1[/math] И НИКОГДА НЕ ПРЕВОСХОДИТЬ 1 ([math]\cos{\frac{ m }{ x } } \leqslant 1[/math], при каждом [math]x \in R[/math] )! А контра примеры которы Вы давали не такие!
Можеть быть это и имел в предвид [math]Avgust[/math] ?
Ну пусть он сам Вам ответить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 14:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Самым общим методом раскрытия предела является формула Тейлора. В нашем случае при устремлении икса к бесконечности:

[math]\cos^x \left (\frac mx \right )=1-\frac{m^2}{2x}+\frac{m^4}{8x^2}-...[/math]

Отсюда и 1, поскольку все остальные члены обнуляются.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 15:20 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Было бы неплохо, если бы Вы показали, как Вы получили эту формулу. Но уже радует то, что Вы отказались от "простых рассуждений".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 17:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Мои простые рассуждения тоже верны. Покажу на примерах. При [math]x\to \infty[/math]:

[math]\cos^5(\frac mx)=1[/math] - это верно?

[math]\cos^{500}(\frac mx)=1[/math] - а это?
Я в Вольфраме не проверял, но знаю, что это так.

[math]\cos^{5000000}(\frac mx)=1[/math] - а это?

И в этом я на 100% уверен. Но Вольфрам все же включу:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%5E5000000(m%2Finfty)

Да, это верно!

Так на каком основании при росте степени на миллионы порядков вдруг изменится результат?
Вот скажите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 17 апр 2018, 17:45 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Это Ваше предложение по оформлению решения для автора вопроса?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Countdiuku

6

168

13 янв 2020, 15:50

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Valerika95

1

242

16 апр 2014, 12:20

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kicultanya

1

299

02 мар 2018, 07:39

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Laind

7

255

19 ноя 2017, 23:41

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Lolin

5

466

16 дек 2019, 01:49

Как найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

uluana_v

3

433

27 фев 2016, 18:57

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Webmex

15

562

27 дек 2018, 09:33

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sigma

4

370

29 окт 2017, 17:55

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kicultanya

4

269

29 окт 2017, 17:24

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Hermann 2018

3

313

16 дек 2018, 22:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved