Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
kicultanya |
|
|
Каким способом можно решить этот предел? Какой литературой можно воспользоваться для решения этого предела? Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Можно простым рассуждением. При действительном m косинус стремится к единице. А единицу в какую степень ни возводи, она ею же и останется. Поэтому предел равен 1. На графике это хорошо видно:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((cos(5%2Fx))%5Ex,x%3D1..1000) |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
kicultanya
[math]\lim_{x \to \infty} \left( \cos{\frac{m}{x}}\right)^{x}=\left[ 1^{\infty} \right].[/math] Такая неопределённость раскрывается путём сведения предела ко второму замечательному. |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Avgust писал(а): Можно простым рассуждением. При действительном m косинус стремится к единице. А единицу в какую степень ни возводи, она ею же и останется. Поэтому предел равен 1. Я не стал бы злоупотреблять "простыми рассуждениями". [math]1 + \frac{1}{x}[/math] тоже к единице стремится при [math]x \to +\infty[/math]. Но вот [math]\left( 1 + \frac{1}{x} \right) ^{x+1} > 2[/math]. Еще, к примеру, если бы показатель степени в данной задаче был [math]x^2[/math], а не [math]x[/math], то предел отнюдь не равнялся бы 1. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Avgust
Avgust писал(а): Можно простым рассуждением. Если Вам не трудно, покажите, к чему приведут такие рассуждения при вычислении, например, предела [math]\lim_{x \to \infty} \left( \sin{\frac{1}{x}}+\cos{\frac{1}{x}} \right)^x.[/math] Если это сложно, то возьмите хотя бы предел [math]\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x,[/math] для которого правильный результат общеизвестен... |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: Space |
||
Tantan |
|
|
Мне кажеться, что дело в том что при действительном [math]m ,[/math] [math]\lim_{x \to \infty } \cos{\frac{ m }{ x } } = \cos{0} = 1[/math] И НИКОГДА НЕ ПРЕВОСХОДИТЬ 1 ([math]\cos{\frac{ m }{ x } } \leqslant 1[/math], при каждом [math]x \in R[/math] )! А контра примеры которы Вы давали не такие!
Можеть быть это и имел в предвид [math]Avgust[/math] ? Ну пусть он сам Вам ответить. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Самым общим методом раскрытия предела является формула Тейлора. В нашем случае при устремлении икса к бесконечности:
[math]\cos^x \left (\frac mx \right )=1-\frac{m^2}{2x}+\frac{m^4}{8x^2}-...[/math] Отсюда и 1, поскольку все остальные члены обнуляются. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Tantan |
||
Andy |
|
|
Avgust
Было бы неплохо, если бы Вы показали, как Вы получили эту формулу. Но уже радует то, что Вы отказались от "простых рассуждений". |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Andy
Мои простые рассуждения тоже верны. Покажу на примерах. При [math]x\to \infty[/math]: [math]\cos^5(\frac mx)=1[/math] - это верно? [math]\cos^{500}(\frac mx)=1[/math] - а это? Я в Вольфраме не проверял, но знаю, что это так. [math]\cos^{5000000}(\frac mx)=1[/math] - а это? И в этом я на 100% уверен. Но Вольфрам все же включу: https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%5E5000000(m%2Finfty) Да, это верно! Так на каком основании при росте степени на миллионы порядков вдруг изменится результат? Вот скажите, пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Avgust
Это Ваше предложение по оформлению решения для автора вопроса? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |