Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Расходимость
СообщениеДобавлено: 13 мар 2018, 22:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2018, 22:37
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не могу понять как доказать задачу 2 на расходимость последовательности.
И ещё по поводу упражнения 3.
Я так понял отличие в том, что в 1м случае мы зависим от точки а, чтобы выбрать окрестность, а во втором случае (задача 2) говориться, что окрестность всегда существует вне зависимости от точки а. Так какое условие сильнее или в чём соль вообще?Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость
СообщениеДобавлено: 14 мар 2018, 11:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну давайте увидим когда последовательност {[math]x_{n}[/math]} - сходиться и если она не сходиться это означаеть что она разходиться! :)
И так что бы {[math]x_{n}[/math]} сходиться надо : существовать( [math]\exists[/math]) какое то [math]\boldsymbol{a}[/math] , такое что для каждого ( [math]\forall[/math] ) [math]\varepsilon > 0[/math] , существует( [math]\exists[/math] ) такой номер [math]\boldsymbol{n}[/math] послетовательности {[math]x_{n}[/math]}, что для каждого ( [math]\forall[/math]) [math]\boldsymbol{m} > n[/math] , выпольнено [math]\left| x_{m} - a \right| < \varepsilon[/math]!
На эту базу сформируем отрицание сходимости т.е. разсходимости! И так последовательност {[math]x_{n}[/math]} разходиться если : Для каждого ( [math]\forall[/math] ) [math]\boldsymbol{a}[/math] ( т.е. НЕ СУЩЕСТВУЕТ НИКАКОГО [math]\boldsymbol{a}[/math] ), существует( [math]\exists[/math] ) такое [math]\varepsilon > 0[/math](т.е. НЕ ДЛЯ КАЖДОГО [math]\varepsilon > 0[/math]) , что для каждого ( [math]\forall[/math] ) , [math]\boldsymbol{n}[/math] послетовательности {[math]x_{n}[/math]}, существует( [math]\exists[/math] , найдеться) [math]\boldsymbol{m} > n[/math], что для него выпольнено[math]\left| x_{m} - a \right| \geqslant \varepsilon[/math]!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость
СообщениеДобавлено: 14 мар 2018, 19:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2018, 22:37
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, но то что Вы написали, я давно понял и написал это карандашиком, но вопрос ведь совсем в другом был.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость
СообщениеДобавлено: 14 мар 2018, 20:56 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К доказательству задачи 2.

Пусть условие задачи выполнено. Зафиксируем некоторое вещественное [math]a_0[/math]. Тогда существует [math]\varepsilon >0[/math], такое что для всякого номера [math]n[/math] найдется [math]m>n[/math], для которого [math]\left| x_m -a_0 \right| \geqslant \varepsilon[/math]. Это и есть отрицание сходимости, ведь [math]a_0[/math] было выбрано произвольным.

Обратно. Пусть последовательность расходится. Предположим, что условие не выполнено. Тогда для любого [math]\varepsilon \geqslant 0[/math] существует число [math]a[/math] и номер [math]n[/math], такие что для любого [math]m>n[/math] будет верно [math]\left| x_m - a \right| < \varepsilon[/math]. Возьмет два произвольных номера [math]k > n[/math] и [math]l > n[/math]. Тогда [math]\left| x_k - a \right| < \varepsilon[/math] и [math]\left| x_l - a \right| < \varepsilon[/math], откуда следует, что [math]\left| x_k - x_l \right| < 2 \varepsilon[/math].
Итак, мы получили, что для любого [math]\varepsilon \geqslant 0[/math] существует номер [math]n[/math], такой что для любых [math]k > n[/math] и [math]l > n[/math] будет выполнено [math]\left| x_k - x_l \right| < 2 \varepsilon[/math]. Это означает, что последовательность фундаментальна. Согласно критерию Коши фундаментальная последовательность сходится.
Но мы рассматриваем расходящуюся последовательность, поэтому получается противоречие. Таким образом, условие выполнено.

По поводу упражнения 3.

StasLukov писал(а):
Я так понял отличие в том, что в 1м случае мы зависим от точки а, чтобы выбрать окрестность, а во втором случае (задача 2) говориться, что окрестность всегда существует вне зависимости от точки а.

Все верно.

StasLukov писал(а):
Так какое условие сильнее или в чём соль вообще?

Ничем не сильнее. В задаче 2 как раз доказывается их эквивалентность. Соль в том, чтобы приобрести навык работы с обозначениями "[math]\varepsilon - \delta[/math]", развить абстрактное мышление.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
StasLukov
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость
СообщениеДобавлено: 14 мар 2018, 21:19 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точно не знаю что там за книга, но записано два утверждения: [math]\forall a\exists \epsion>0 P(...)[/math] и [math]\exists \epsion>0\forall a P(...)[/math]
и вот уже по виду этих выражений видно, что из второго следует первое, оно сильнее, но для полных пространств (например R) утверждения эквивалентны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость
СообщениеДобавлено: 15 мар 2018, 00:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2018, 22:37
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Расходимость ряда

в форуме Ряды

Sever

1

342

08 мар 2018, 04:03

Расходимость ряда

в форуме Ряды

Sever

16

620

03 окт 2018, 03:45

Расходимость ряда

в форуме Ряды

adssfcs

2

168

09 ноя 2019, 20:30

Доказать расходимость

в форуме Интегральное исчисление

slog

11

563

29 ноя 2014, 22:48

Сходимость расходимость

в форуме Ряды

RussianFalth

1

292

21 сен 2014, 18:22

Расходимость ряда

в форуме Ряды

rivan1

2

149

28 янв 2023, 13:47

Установить расходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

luci616

4

265

07 май 2020, 20:47

Доказать расходимость ряда

в форуме Ряды

nastyaterebova

3

341

02 июн 2015, 15:41

Доказать расходимость ряда

в форуме Ряды

youi

3

411

06 окт 2016, 08:24

Доказать расходимость ряда

в форуме Ряды

youi

3

249

08 окт 2016, 14:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved