Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
StasLukov |
|
|
И ещё по поводу упражнения 3. Я так понял отличие в том, что в 1м случае мы зависим от точки а, чтобы выбрать окрестность, а во втором случае (задача 2) говориться, что окрестность всегда существует вне зависимости от точки а. Так какое условие сильнее или в чём соль вообще? |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Ну давайте увидим когда последовательност {[math]x_{n}[/math]} - сходиться и если она не сходиться это означаеть что она разходиться!
И так что бы {[math]x_{n}[/math]} сходиться надо : существовать( [math]\exists[/math]) какое то [math]\boldsymbol{a}[/math] , такое что для каждого ( [math]\forall[/math] ) [math]\varepsilon > 0[/math] , существует( [math]\exists[/math] ) такой номер [math]\boldsymbol{n}[/math] послетовательности {[math]x_{n}[/math]}, что для каждого ( [math]\forall[/math]) [math]\boldsymbol{m} > n[/math] , выпольнено [math]\left| x_{m} - a \right| < \varepsilon[/math]! На эту базу сформируем отрицание сходимости т.е. разсходимости! И так последовательност {[math]x_{n}[/math]} разходиться если : Для каждого ( [math]\forall[/math] ) [math]\boldsymbol{a}[/math] ( т.е. НЕ СУЩЕСТВУЕТ НИКАКОГО [math]\boldsymbol{a}[/math] ), существует( [math]\exists[/math] ) такое [math]\varepsilon > 0[/math](т.е. НЕ ДЛЯ КАЖДОГО [math]\varepsilon > 0[/math]) , что для каждого ( [math]\forall[/math] ) , [math]\boldsymbol{n}[/math] послетовательности {[math]x_{n}[/math]}, существует( [math]\exists[/math] , найдеться) [math]\boldsymbol{m} > n[/math], что для него выпольнено[math]\left| x_{m} - a \right| \geqslant \varepsilon[/math]! |
||
Вернуться к началу | ||
StasLukov |
|
|
Да, но то что Вы написали, я давно понял и написал это карандашиком, но вопрос ведь совсем в другом был.
|
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
К доказательству задачи 2.
Пусть условие задачи выполнено. Зафиксируем некоторое вещественное [math]a_0[/math]. Тогда существует [math]\varepsilon >0[/math], такое что для всякого номера [math]n[/math] найдется [math]m>n[/math], для которого [math]\left| x_m -a_0 \right| \geqslant \varepsilon[/math]. Это и есть отрицание сходимости, ведь [math]a_0[/math] было выбрано произвольным. Обратно. Пусть последовательность расходится. Предположим, что условие не выполнено. Тогда для любого [math]\varepsilon \geqslant 0[/math] существует число [math]a[/math] и номер [math]n[/math], такие что для любого [math]m>n[/math] будет верно [math]\left| x_m - a \right| < \varepsilon[/math]. Возьмет два произвольных номера [math]k > n[/math] и [math]l > n[/math]. Тогда [math]\left| x_k - a \right| < \varepsilon[/math] и [math]\left| x_l - a \right| < \varepsilon[/math], откуда следует, что [math]\left| x_k - x_l \right| < 2 \varepsilon[/math]. Итак, мы получили, что для любого [math]\varepsilon \geqslant 0[/math] существует номер [math]n[/math], такой что для любых [math]k > n[/math] и [math]l > n[/math] будет выполнено [math]\left| x_k - x_l \right| < 2 \varepsilon[/math]. Это означает, что последовательность фундаментальна. Согласно критерию Коши фундаментальная последовательность сходится. Но мы рассматриваем расходящуюся последовательность, поэтому получается противоречие. Таким образом, условие выполнено. По поводу упражнения 3. StasLukov писал(а): Я так понял отличие в том, что в 1м случае мы зависим от точки а, чтобы выбрать окрестность, а во втором случае (задача 2) говориться, что окрестность всегда существует вне зависимости от точки а. Все верно. StasLukov писал(а): Так какое условие сильнее или в чём соль вообще? Ничем не сильнее. В задаче 2 как раз доказывается их эквивалентность. Соль в том, чтобы приобрести навык работы с обозначениями "[math]\varepsilon - \delta[/math]", развить абстрактное мышление. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: StasLukov |
||
Slon |
|
|
Точно не знаю что там за книга, но записано два утверждения: [math]\forall a\exists \epsion>0 P(...)[/math] и [math]\exists \epsion>0\forall a P(...)[/math]
и вот уже по виду этих выражений видно, что из второго следует первое, оно сильнее, но для полных пространств (например R) утверждения эквивалентны. |
||
Вернуться к началу | ||
StasLukov |
|
|
Спасибо большое!
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Расходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
342 |
08 мар 2018, 04:03 |
|
Расходимость ряда
в форуме Ряды |
16 |
620 |
03 окт 2018, 03:45 |
|
Расходимость ряда
в форуме Ряды |
2 |
168 |
09 ноя 2019, 20:30 |
|
Доказать расходимость
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
564 |
29 ноя 2014, 22:48 |
|
Сходимость расходимость
в форуме Ряды |
1 |
292 |
21 сен 2014, 18:22 |
|
Расходимость ряда
в форуме Ряды |
2 |
149 |
28 янв 2023, 13:47 |
|
Установить расходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
265 |
07 май 2020, 20:47 |
|
Доказать расходимость ряда
в форуме Ряды |
3 |
341 |
02 июн 2015, 15:41 |
|
Доказать расходимость ряда
в форуме Ряды |
3 |
411 |
06 окт 2016, 08:24 |
|
Доказать расходимость ряда
в форуме Ряды |
3 |
249 |
08 окт 2016, 14:10 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |