Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 19:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 мар 2018, 19:09
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать, что
[math]\lim_{n \to inf}[/math] [math]\frac{n ^{n} }{a ^{n} n! }[/math] = 0 , при a>e(exp) ⁡

Доказываем из определения предела последовательности: [math]\frac{n ^{n} }{a ^{n} n! }[/math] [math]< \epsilon[/math]

Только вот как выразить n из этого неравенства, не пойму! Предполагаю, что должны использоваться ограничения, чтобы привести последовательность к виду, из которого без проблем получится выразить n.

Помогите с док-м , пожалуйста)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 19:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формулу Стирлинга знаете?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 20:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 мар 2018, 19:09
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Формулу Стирлинга знаете?


Нет. Самый начальный мат. анализ( 1й семестр)
Предел последовательности. И все соответствующие этому разделу теоремы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 20:14 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как в признаке Д'Аламбера возьмите отношение двух соседних и оцените сверху

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 20:37 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dimapro писал(а):
Помогите с док-м , пожалуйста)

Ну давайте попробуем помоч!
[math]x= \frac{n ^{n} }{a ^{n} n! } \to[/math][math]\log_{a}{x} =[n\log_{a}{n} - n.\log_{a}{a}.(\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n} )]=[n\log_{a}{n} - n.(\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n} )]=-n\log_{a}{(n-1)!} \to - \infty[/math], для [math]\boldsymbol{n} \to \infty[/math] , а это означает, что [math]\boldsymbol{x} = \frac{n ^{n} }{a ^{n} n! } \to 0[/math] , для [math]\boldsymbol{n} \to \infty[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 20:45 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Ну давайте попробуем помоч!
[math]x= \frac{n ^{n} }{a ^{n} n! } \to[/math][math]\log_{a}{x} =[n\log_{a}{n} - n.\log_{a}{a}.(\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n} )]=[n\log_{a}{n} - n.(\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n} )]=-n\log_{a}{(n-1)!} \to - \infty[/math] .


Вы [math]n\log_{a}{a}[/math] на [math]\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n}[/math] не умножается
Утверждение для [math]a<e[/math] не верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 21:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Как в признаке Д'Аламбера возьмите отношение двух соседних и оцените сверху

Следуя совету Slon, обозначим [math]x_n = \frac{n^n}{a^n n!}[/math] и исследуем отношение [math]\frac{x_{n+1}}{x_n}[/math]. Подставив в это выражение формулу для [math]x_n[/math] и сократив всевозможные степени и факториалы, получим:

[math]\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{a} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n[/math]

Как известно, [math]\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n < e[/math]. Тогда [math]\frac{x_{n+1}}{x_n} < \frac{e}{a} = q < 1[/math], если [math]a >
e[/math]
. Таким образом,

[math]0 < x_{n+1} < q x_n < q^2 x_{n-1} < ... < q^n x_1 = \frac{q^n}{a}[/math].

Предлагаю автору завершить доказательство самостоятельно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
dimapro
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 22:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Предлагаю автору завершить доказательство самостоятельно.

Тут уже, честно говоря, завершать нечего. Это все равно что свести сложную и громоздкую задачу к "1+1", а потом сказать "Дальше досчитайте сами". Но это так, мое брюзжание...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Analitik
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 22:32 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Tantan писал(а):
Ну давайте попробуем помоч!
[math]x= \frac{n ^{n} }{a ^{n} n! } \to[/math][math]\log_{a}{x} =[n\log_{a}{n} - n.\log_{a}{a}.(\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n} )]=[n\log_{a}{n} - n.(\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n} )]=-n\log_{a}{(n-1)!} \to - \infty[/math] .


Вы [math]n\log_{a}{a}[/math] на [math]\log_{a}{1} + ... + \log_{a}{n}[/math] не умножается
Утверждение для [math]a<e[/math] не верно.

Спосибо, допустил ошибку !Извиняюс!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать предел последовательности
СообщениеДобавлено: 06 мар 2018, 22:44 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Тут уже, честно говоря, завершать нечего.

Я думаю, Вам так кажется с высоты Ваших знаний. Давайте вспомним себя на первом курсе.

Помню, в еще школе нам объясняли понятие предела. Так вот, всех приводило в ужас одно определение [math]\varepsilon[/math]-окрестности. Сейчас это просто смешно.

Бывает, что произвести элементарные операции над незнакомыми объектами довольно сложно. Автору остается понять, на каком основании и с какой целью написана последняя формула, осознать, что [math]q^n[/math] бесконечно малая и вспомнить теорему о трех последовательностях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Countdiuku

1

132

17 янв 2020, 22:32

Доказать предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

phepo

15

218

12 ноя 2019, 11:54

Доказать предел последовательности по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

VadimHoroshilov

0

430

31 янв 2017, 18:35

Доказать, что предел последовательности равен ∞

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ZeGRyX

1

164

06 окт 2020, 16:10

Доказать сходимость и найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Avrora

5

533

05 окт 2016, 10:34

Доказать предел последовательности связанный с числом e

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

TheDarkestLight

8

209

14 окт 2020, 14:30

Доказать фундаментальность последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Canxes

3

283

18 окт 2015, 08:29

Доказать сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

il-yaya

1

891

12 янв 2015, 18:18

Доказать сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kak_eru_666

5

248

15 окт 2019, 15:52

Доказать сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

teasu873

3

235

26 сен 2019, 21:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved