Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Nowiz |
|
|
[math]\lim \to \inf \left( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x} \right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Nowiz писал(а): Не получается решить предел. [math]\lim \to \inf \left( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x} \right)[/math] Если ищите предел[math]\lim_{x \to \infty }( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x})[/math], то [math]\lim_{x \to \infty }( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x})[/math] = [math]\lim_{x \to \infty } \frac{ ( \sqrt[3]{1 +\frac{ 3 }{ x } } -\sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } ) }}{ \frac{ 1 }{ x } }[/math], а к последному границу можно приложить правило Лопиталя и тогда [math]\lim_{x \to \infty } \frac{ ( \sqrt[3]{1 +\frac{ 3 }{ x } } -\sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } ) }}{ \frac{ 1 }{ x } }[/math] = [math]\lim_{x \to \infty }\frac{ ( \sqrt[3]{1 +\frac{ 3 }{ x } } -\sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } })' }{(\frac{ 1 }{ x } )' }[/math]= =[math]\lim_{x \to \infty }\frac{ \frac{ 1 }{ 3 }\frac{- \frac{ 3 }{ x^{2} } }{ \sqrt[3]{(1+ \frac{ 3 }{ x } )^2} } - \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ \frac{ 2 }{ x^{2} } }{ \sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } } } }{ -\frac{ 1 }{ x^{2} } }[/math] = [math]\lim_{x \to \infty }(\frac{ 1 }{ \sqrt[3]{(1 + \frac{ 3 }{ x } )^2} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } } } )[/math] [math]\boldsymbol{= 2}[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: _Sasha_ |
||
Avgust |
|
|
А можно намного проще и без Лопиталя:
[math]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )=\lim\limits_{t\to 0} \frac {2t}{t}=2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: _Sasha_ |
||
Tantan |
|
|
Avgust писал(а): А можно намного проще и без Лопиталя: [math]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )=\lim\limits_{t\to 0} \frac {2t}{t}=2[/math] Можно пояснить каким способом Вы добралис из [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ][/math] до [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )[/math] ? |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Позволю себе заметить, что при [math]x \to \infty[/math] предела все же не существует. Потому что [math]\sqrt{x^2-2x} = \left| x \right| \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math].
Только если [math]x \to +\infty[/math], то имеет место равенство [math]\sqrt{x^2-2x} = x \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math]. Уже не раз встречаюсь с этим недоразумением, за что недолюбливаю символ [math]\infty[/math], и стараюсь использовать только [math]+\infty[/math] и [math]-\infty[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Space писал(а): Позволю себе заметить, что при [math]x \to \infty[/math] предела все же не существует. Потому что [math]\sqrt{x^2-2x} = \left| x \right| \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math]. Только если [math]x \to +\infty[/math], то имеет место равенство [math]\sqrt{x^2-2x} = x \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math]. Уже не раз встречаюсь с этим недоразумением, за что недолюбливаю символ [math]\infty[/math], и стараюсь использовать только [math]+\infty[/math] и [math]-\infty[/math]. А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Tantan писал(а): Avgust писал(а): А можно намного проще и без Лопиталя: [math]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )=\lim\limits_{t\to 0} \frac {2t}{t}=2[/math] Можно пояснить каким способом Вы добралис из [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ][/math] до [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )[/math] ? Это результат применения эквивалентных бесконечно малых функций. См. например http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_7_15.php В таблице - это формула 10. |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Tantan писал(а): А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]? Это три различных случая. К тому же они не имеют ничего общего с бесконечными пределами. Дело в том, что бесконечность это не число, то есть не элемент [math]\mathbb{R}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Space писал(а): Tantan писал(а): А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]? Это три различных случая. К тому же они не имеют ничего общего с бесконечными пределами. Дело в том, что бесконечность это не число, то есть не элемент [math]\mathbb{R}[/math]. Х-мм разве если [math]\lim_{x \to 1} x^{3}[/math] при [math]\boldsymbol{x} \in [0,1)[/math] , не понятно что реч идет о +1, здесь число 1 к котором стремится последователность тоже не принадлижить дефиниционное множество ! |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Space писал(а): Tantan писал(а): А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]? Это три различных случая. Прошу прощения, бред написал. Я воспринял [math]+1[/math] и [math]-1[/math] как [math]1 + 0[/math] и [math]1-0[/math]. Да, разумеется, [math]+1[/math]. Space писал(а): Дело в том, что бесконечность это не число, то есть не элемент [math]\mathbb{R}[/math] . А вот это уже не бред, обратите внимание. Символ [math]\infty[/math] применяется для обозначения предела бесконечно большой. Например, [math]\lim (-1)^n \cdot n = \infty[/math], хотя [math]\lim (-1)^n \cdot n \ne +\infty[/math] и [math]\lim (-1)^n \cdot n \ne -\infty[/math]. Таким образом, нельзя отождествлять [math]\infty[/math] и [math]+\infty[/math] без оговорок. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |