Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 01:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 01:10
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не получается решить предел.
[math]\lim \to \inf \left( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 03:56 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 275
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
73 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nowiz писал(а):
Не получается решить предел.
[math]\lim \to \inf \left( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x} \right)[/math]


Если ищите предел[math]\lim_{x \to \infty }( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x})[/math],

то [math]\lim_{x \to \infty }( \sqrt[3]{x^{3} +3x^{2} }-\sqrt{x^{2}-2x})[/math] = [math]\lim_{x \to \infty } \frac{ ( \sqrt[3]{1 +\frac{ 3 }{ x } } -\sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } ) }}{ \frac{ 1 }{ x } }[/math], а к последному границу можно приложить правило Лопиталя и тогда

[math]\lim_{x \to \infty } \frac{ ( \sqrt[3]{1 +\frac{ 3 }{ x } } -\sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } ) }}{ \frac{ 1 }{ x } }[/math] = [math]\lim_{x \to \infty }\frac{ ( \sqrt[3]{1 +\frac{ 3 }{ x } } -\sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } })' }{(\frac{ 1 }{ x } )' }[/math]=

=[math]\lim_{x \to \infty }\frac{ \frac{ 1 }{ 3 }\frac{- \frac{ 3 }{ x^{2} } }{ \sqrt[3]{(1+ \frac{ 3 }{ x } )^2} } - \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ \frac{ 2 }{ x^{2} } }{ \sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } } } }{ -\frac{ 1 }{ x^{2} } }[/math] = [math]\lim_{x \to \infty }(\frac{ 1 }{ \sqrt[3]{(1 + \frac{ 3 }{ x } )^2} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{1 - \frac{ 2 }{ x } } } )[/math] [math]\boldsymbol{= 2}[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
_Sasha_
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 14:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10268
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 925
Спасибо получено:
3124 раз в 2721 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно намного проще и без Лопиталя:

[math]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )=\lim\limits_{t\to 0} \frac {2t}{t}=2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
_Sasha_
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 14:47 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 275
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
73 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
А можно намного проще и без Лопиталя:

[math]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )=\lim\limits_{t\to 0} \frac {2t}{t}=2[/math]


Можно пояснить каким способом Вы добралис из [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ][/math] до [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 17:53 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 399
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
125 раз в 119 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Позволю себе заметить, что при [math]x \to \infty[/math] предела все же не существует. Потому что [math]\sqrt{x^2-2x} = \left| x \right| \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math].
Только если [math]x \to +\infty[/math], то имеет место равенство [math]\sqrt{x^2-2x} = x \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math]. Уже не раз встречаюсь с этим недоразумением, за что недолюбливаю символ [math]\infty[/math], и стараюсь использовать только [math]+\infty[/math] и [math]-\infty[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 18:02 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 275
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
73 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Позволю себе заметить, что при [math]x \to \infty[/math] предела все же не существует. Потому что [math]\sqrt{x^2-2x} = \left| x \right| \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math].
Только если [math]x \to +\infty[/math], то имеет место равенство [math]\sqrt{x^2-2x} = x \cdot \left( 1-\frac{2}{x} \right)^{\frac{1}{2}}[/math]. Уже не раз встречаюсь с этим недоразумением, за что недолюбливаю символ [math]\infty[/math], и стараюсь использовать только [math]+\infty[/math] и [math]-\infty[/math].


А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 20:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10268
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 925
Спасибо получено:
3124 раз в 2721 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Avgust писал(а):
А можно намного проще и без Лопиталя:

[math]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ]=\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )=\lim\limits_{t\to 0} \frac {2t}{t}=2[/math]


Можно пояснить каким способом Вы добралис из [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg [\sqrt[3]{1+3t} -1- \bigg (\sqrt{1-2t}-1\bigg )\bigg ][/math] до [math]\lim\limits_{t\to 0} \frac 1t \bigg (\frac 13 \cdot 3t+\frac 12 \cdot 2t \bigg )[/math] ?


Это результат применения эквивалентных бесконечно малых функций. См. например
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_7_15.php
В таблице - это формула 10.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 21:19 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 399
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
125 раз в 119 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]?

Это три различных случая. К тому же они не имеют ничего общего с бесконечными пределами. Дело в том, что бесконечность это не число, то есть не элемент [math]\mathbb{R}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 21:55 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 275
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
73 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Tantan писал(а):
А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]?

Это три различных случая. К тому же они не имеют ничего общего с бесконечными пределами. Дело в том, что бесконечность это не число, то есть не элемент [math]\mathbb{R}[/math].

Х-мм разве если [math]\lim_{x \to 1} x^{3}[/math] при [math]\boldsymbol{x} \in [0,1)[/math] , не понятно что реч идет о +1, здесь число 1 к котором стремится последователность тоже не принадлижить дефиниционное множество !

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел разности кубического и квадратного корней
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 23:17 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 399
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
125 раз в 119 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Tantan писал(а):
А как Вы понимаете [math]x\longrightarrow 1[/math] ?! Как [math]x\longrightarrow -1[/math] или как [math]x\longrightarrow +1[/math]?

Это три различных случая.

Прошу прощения, бред написал. Я воспринял [math]+1[/math] и [math]-1[/math] как [math]1 + 0[/math] и [math]1-0[/math].

Да, разумеется, [math]+1[/math].

Space писал(а):
Дело в том, что бесконечность это не число, то есть не элемент [math]\mathbb{R}[/math] .

А вот это уже не бред, обратите внимание. Символ [math]\infty[/math] применяется для обозначения предела бесконечно большой.

Например, [math]\lim (-1)^n \cdot n = \infty[/math], хотя [math]\lim (-1)^n \cdot n \ne +\infty[/math] и [math]\lim (-1)^n \cdot n \ne -\infty[/math]. Таким образом, нельзя отождествлять [math]\infty[/math] и [math]+\infty[/math] без оговорок.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нахождение корней кубического уравнения

в форуме Алгебра

aliska

12

908

18 апр 2013, 19:33

Доказательство вещественности корней кубического уравнения

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

vyeujdyjherfvb

0

137

29 сен 2015, 20:33

Задача на расположение корней квадратного уравнения

в форуме Алгебра

abrolechka

14

263

25 дек 2016, 21:13

Предел функции с разностью корней в числителе

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Wersel

7

277

26 дек 2012, 18:26

Корни кубического уравнения

в форуме Алгебра

Avgust

5

441

17 июл 2013, 15:41

Расписать извлечение кубического корня

в форуме Алгебра

Chika

5

465

13 мар 2015, 21:23

Алгоритм получения кубического подграфа из графа

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

David Villa

0

153

05 май 2012, 10:37

Найти все значения кубического корня из единицы

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

katechka92

1

608

11 мар 2012, 12:42

Найти комплексные корни кубического уравнения по Кардано

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

aleksskay

6

616

31 май 2012, 17:07

Квадратного уравнения

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

12

598

17 май 2014, 12:09


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved