Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать последовательность на равномерную сходимость
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 18:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 янв 2018, 18:08
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите правильный путь, пожалуйста. Есть последовательность f(n)=[math]\frac{ nx^{2}+1 }{ n+2x }[/math] на области (0;10). Нужно доказать ее равномерную сходимость.
Ищу предельную функцию и получаю x[math]^{2}[/math]/ Далее ищу разность sup|f[math]_{n}[/math](x)-f(x)| и получаю |[math]\frac{ 1-2x^{3} }{ n+2x }[/math]|. А дальше не понимаю, что нужно сделать. есть пример в методичке, где ищется производная и стац точка, но производная этого чуда [math]\frac{ 8x^{3}+6x^{2} n+2 }{ (n+2x)^{2} }[/math] и стац точку там найти сложно. правильно ли я вообще решаю или есть проще что-то, и если да, то как эту точку стационарную найти

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать последовательность на равномерную сходимость
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 18:39 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
205 раз в 186 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не всегда нужно смотреть в методичку, смотрите, что Вам нужно, какова цель.
Есть [math]a_n=sup|\frac{1-2x^3}{n+2x}|[/math], наша цель доказать (или выяснить правда ли), что [math]a_n\to0[/math],
значит вначале нужно либо найти [math]a_n[/math] оценить.
Методичка подсказывает что можно взять производную и найти экстремум ...
А простой взгляд сразу может определить, что модуль числителя меньшее 2000, а знаменатель больше n

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Ylia13
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать последовательность на равномерную сходимость
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 18:41 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ylia13 писал(а):
Далее ищу разность sup|f[math]_{n}[/math](x)-f(x)| и получаю |[math]\frac{ 1-2x^{3} }{ n+2x }[/math]|.


[math]\left| \frac{ 1-2x^{3} }{ n+2x } \right|[/math] — это не супремум, а всего лишь модуль разности. А найти требуется все-таки верхнюю грань (необязательно точную) этого выражения по всем [math]x[/math] из указанного множества для заданного [math]n[/math].

В данном случае можно произвести следующую оценку сверху с учетом того, что [math]x \in (0, 10)[/math]:

[math]\left| \frac{ 1-2x^{3} }{ n+2x } \right| \leqslant \frac{ 1+2x^{3} }{ n+2x } \leqslant \frac{ 1+ 2 \cdot 10^{3} }{ n} = \frac{2001}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0[/math].

Таким образом, сходимость на множестве [math](0,10)[/math] равномерная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Ylia13
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать последовательность на равномерную сходимость
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 18:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 янв 2018, 18:08
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Ylia13 писал(а):
Далее ищу разность sup|f[math]_{n}[/math](x)-f(x)| и получаю |[math]\frac{ 1-2x^{3} }{ n+2x }[/math]|.


[math]\left| \frac{ 1-2x^{3} }{ n+2x } \right|[/math] — это не супремум, а всего лишь модуль разности. А найти требуется все-таки верхнюю грань (необязательно точную) этого выражения по всем [math]x[/math] из указанного множества для заданного [math]n[/math].

В данном случае можно произвести следующую оценку сверху с учетом того, что [math]x \in (0, 10)[/math]:

[math]\left| \frac{ 1-2x^{3} }{ n+2x } \right| \leqslant \frac{ 1+2x^{3} }{ n+2x } \leqslant \frac{ 1+ 2 \cdot 10^{3} }{ n} = \frac{2001}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0[/math].

Таким образом, сходимость на множестве [math](0,10)[/math] равномерная.

Спасибо, вроде понятнее стало)
и тогда спрошу в этой теме про вторую последовательность такого же задания. f[math]_{n}[/math](x)=[math]\frac{ 2nx }{ 4n^{2}+x^{2} }[/math]. В данном случае по алгоритму я нашла стационарную точку x=2n и функция в ней равна [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Правильно я понимаю, что не стремится к 0 и значится здесь нет равномерной сходимости, или не правильно?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать последовательность на равномерную сходимость
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 19:00 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
205 раз в 186 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно если теперь область не (0, 10) а R и х может быть равным 2n

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Ylia13
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать последовательность на равномерную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 янв 2018, 16:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 янв 2018, 18:08
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот вроде все уже прошло по теме) но остался вопрос. по последней функции. она определена на промежутке (1;+бесконечнсть) и получается что функцию нахожу в точке x=1, x=2n и x=бесконечность. что в таком случае можно сказать о равномерной сходимости?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать последовательность на равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

diemillss

1

158

19 дек 2016, 20:31

Исследовать на равномерную сходимость

в форуме Ряды

Uryuk

4

488

29 ноя 2011, 12:16

Исследовать ряд на равномерную сходимость

в форуме Ряды

Dirolina

10

698

16 июн 2015, 17:37

Исследовать на равномерную сходимость ряд

в форуме Ряды

PolinaK

0

392

17 дек 2013, 21:33

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

281

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на равномерную сходимость на множестве

в форуме Ряды

amorales

2

1413

16 дек 2010, 21:36

Исследовать равномерную сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

anna122166

1

84

25 дек 2016, 18:20

Исследовать функциональный ряд на сходимость и равномерную

в форуме Ряды

Petrower

5

996

28 дек 2012, 18:13

Исследовать интеграл на равномерную сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Uryuk

4

405

05 дек 2011, 18:12

Исследовать равномерную сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Jhon

8

413

08 дек 2013, 18:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved