Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 03 дек 2017, 20:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 дек 2017, 20:00
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как такое решать? Мне хотя бы ход мыслей.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 03 дек 2017, 20:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
marble_floors писал(а):
Мне хотя бы ход мыслей.

Есть две смутные мысли.
1) Взять и подсчитать сумму непосредственно. Дополнить второй суммой из косинусов, умноженную на [math]i[/math]. Возникнет геометрическая прогрессия.
2) Представить [math]x_n[/math] как сумму Римана некоторого интеграла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 03 дек 2017, 21:33 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
1) Взять и подсчитать сумму непосредственно. Дополнить второй суммой из косинусов, умноженную на [math]i[/math]. Возникнет геометрическая прогрессия.


Мне нравится эта мысль.

[math]\sum\limits_{k=1}^{n} \sin{\left( \frac{2k-1}{n^2} \right) } = \operatorname{Im} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} e^{i\frac{2k-1}{n^2}}\right)[/math]

Это сумма первых [math]n[/math] членов геометрической прогрессии с первым членом [math]b_1 = e^{\frac{i}{n^2}}[/math] и знаменателем [math]q = e^{\frac{2i}{n^2}}[/math].

[math]\sum\limits_{k=1}^{n} e^{i\frac{2k-1}{n^2}} = \sum\limits_{k=1}^{n} b_1 \cdot q^{(k-1)} = b_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = e^{\frac{i}{n^2}} \cdot \frac{1 - e^{\frac{2ni}{n^2}}}{1 - e^{\frac{2i}{n^2}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 03 дек 2017, 21:57 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 15:13
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
57 раз в 57 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня идея умножить и разделить [math]x_n[/math] на [math]\cos[/math] чего-нибудь, чтобы в числителе каждое произведение синуса на косинус представить в виде полусуммы синусов, затем в каждой паре соседних полусумм за счет нечетности синуса осталось лишь два члена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю anonim228 "Спасибо" сказали:
passionflower
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 04 дек 2017, 00:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 дек 2017, 22:40
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anonim228 писал(а):
У меня идея умножить и разделить [math]x_n[/math] на [math]\cos[/math] чего-нибудь, чтобы в числителе каждое произведение синуса на косинус представить в виде полусуммы синусов, затем в каждой паре соседних полусумм за счет нечетности синуса осталось лишь два члена.

Например, на косинус чего?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 04 дек 2017, 02:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 15:13
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
57 раз в 57 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я промахнулся :) умножать надо на [math]\sin\frac{1}{n^2}[/math], тогда сумма произведений, стоящих рядом, примет вид [math]\sin \frac{2n-3}{n^2}\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{2n-1}{n^2}\sin \frac{1}{n^2}=\cos\left({\frac{2n-3}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-3}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)+\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)= \\ \cos\left({\frac{2n-3}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-2}{n^2}} \right)+\cos\left({\frac{2n-2}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)=\cos\left({\frac{2n-3}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)[/math]

Сокращая все, что можно, [math]x_n=\frac{1-\cos\frac{2}{n}}{2\sin\frac{1}{n^2}}[/math]
Предел этого выражения легко считается и равен [math]1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю anonim228 "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 04 дек 2017, 16:09 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anonim228 писал(а):
Предел этого выражения легко считается и равен [math]1[/math].

В то время как [math]\lim x_n = 0[/math]. Подтверждение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 04 дек 2017, 16:15 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу прощения. Врет Wolfram, или я запрос некорректно ввел.

Все верно, [math]\lim x_n = 1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 04 дек 2017, 19:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 дек 2017, 22:40
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А если сложить последний синус с первым, предпоследний со вторым и тд. Или это неверно будет? (на косинус не обращать внимания, ибо он всегда в пределе в 1 обращается)Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

belinum

2

202

27 окт 2014, 18:35

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

fedorovdanilo

9

848

03 ноя 2014, 02:37

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

salainenkappale

4

241

24 июл 2020, 16:05

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ibrokhim25Z2B5DI47

2

199

09 май 2020, 23:37

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

devhead

2

196

30 ноя 2020, 20:38

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DashuTka

2

176

27 июл 2020, 13:37

Найти предел последовательности

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

devhead

2

212

30 ноя 2020, 20:29

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mkolmi

3

330

20 окт 2017, 17:41

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

assp1r1n3

6

462

05 ноя 2015, 11:14

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rorchax

3

300

18 фев 2015, 11:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved