Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
marble_floors |
|
|
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
marble_floors писал(а): Мне хотя бы ход мыслей. Есть две смутные мысли. 1) Взять и подсчитать сумму непосредственно. Дополнить второй суммой из косинусов, умноженную на [math]i[/math]. Возникнет геометрическая прогрессия. 2) Представить [math]x_n[/math] как сумму Римана некоторого интеграла. |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
searcher писал(а): 1) Взять и подсчитать сумму непосредственно. Дополнить второй суммой из косинусов, умноженную на [math]i[/math]. Возникнет геометрическая прогрессия. Мне нравится эта мысль. [math]\sum\limits_{k=1}^{n} \sin{\left( \frac{2k-1}{n^2} \right) } = \operatorname{Im} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} e^{i\frac{2k-1}{n^2}}\right)[/math] Это сумма первых [math]n[/math] членов геометрической прогрессии с первым членом [math]b_1 = e^{\frac{i}{n^2}}[/math] и знаменателем [math]q = e^{\frac{2i}{n^2}}[/math]. [math]\sum\limits_{k=1}^{n} e^{i\frac{2k-1}{n^2}} = \sum\limits_{k=1}^{n} b_1 \cdot q^{(k-1)} = b_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = e^{\frac{i}{n^2}} \cdot \frac{1 - e^{\frac{2ni}{n^2}}}{1 - e^{\frac{2i}{n^2}}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
anonim228 |
|
|
У меня идея умножить и разделить [math]x_n[/math] на [math]\cos[/math] чего-нибудь, чтобы в числителе каждое произведение синуса на косинус представить в виде полусуммы синусов, затем в каждой паре соседних полусумм за счет нечетности синуса осталось лишь два члена.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю anonim228 "Спасибо" сказали: passionflower |
||
passionflower |
|
|
anonim228 писал(а): У меня идея умножить и разделить [math]x_n[/math] на [math]\cos[/math] чего-нибудь, чтобы в числителе каждое произведение синуса на косинус представить в виде полусуммы синусов, затем в каждой паре соседних полусумм за счет нечетности синуса осталось лишь два члена. Например, на косинус чего? |
||
Вернуться к началу | ||
anonim228 |
|
|
Я промахнулся умножать надо на [math]\sin\frac{1}{n^2}[/math], тогда сумма произведений, стоящих рядом, примет вид [math]\sin \frac{2n-3}{n^2}\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{2n-1}{n^2}\sin \frac{1}{n^2}=\cos\left({\frac{2n-3}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-3}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)+\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)= \\ \cos\left({\frac{2n-3}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-2}{n^2}} \right)+\cos\left({\frac{2n-2}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)=\cos\left({\frac{2n-3}{n^2}-\frac{1}{n^2}} \right)-\cos\left({\frac{2n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \right)[/math]
Сокращая все, что можно, [math]x_n=\frac{1-\cos\frac{2}{n}}{2\sin\frac{1}{n^2}}[/math] Предел этого выражения легко считается и равен [math]1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю anonim228 "Спасибо" сказали: Space |
||
Space |
|
|
anonim228 писал(а): Предел этого выражения легко считается и равен [math]1[/math]. В то время как [math]\lim x_n = 0[/math]. Подтверждение. |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Прошу прощения. Врет Wolfram, или я запрос некорректно ввел.
Все верно, [math]\lim x_n = 1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
passionflower |
|
|
А если сложить последний синус с первым, предпоследний со вторым и тд. Или это неверно будет? (на косинус не обращать внимания, ибо он всегда в пределе в 1 обращается)
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |