Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=56494 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | 52heartz [ 05 ноя 2017, 12:26 ] |
Заголовок сообщения: | Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
Приветствую, уважаемые. Освежаю в памяти знания о пределах. Вот наткнулся на такое доказательство: Ссылка на источник: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitProofs.aspx, там где "Proof #2". Не могу понять необходимость в том шаге, где выбирается минимальная дельта (если я правильно озвучил эту букву). Зачем этот шаг вообще нужен, если каждому эпсилон соответствует некоторая дельта и наоборот? Почему нельзя просто пропустить этот шаг, предполагая, что для заданного эпсилон такая дельта должна существовать независимо от значений [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math]? Пострадает ли от этого доказательство, станет ли менее "строгим" или вообще несостоятельным? Заранее благодарю. |
Автор: | michel [ 05 ноя 2017, 14:21 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
Выбирается минимальное дельта из двух для того, чтобы одновременно выполнялись два исходных предела при заданном эпсилон |
Автор: | 52heartz [ 05 ноя 2017, 14:49 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
Мне остается неясным, зачем это нужно делать (выбирать минимум), когда каждому [math]\varepsilon[/math] соответствует определенное [math]\delta[/math]? По ходу доказательства [math]\varepsilon[/math] / 2 уже известно. Мой вопрос в том, достаточно ли этого факта для того, чтобы предполагать, что и [math]\varepsilon[/math] * 2 соответствует некоторое другое значение [math]\delta[/math]'? Может ли это освободить от необходимости считаться с [math]\delta[/math] в принципе? Иначе говоря, мог бы я переписать доказательство следующим образом: Вместо строки, где выбирается минимум, написать что-то вроде: по условию [math]\forall[/math] [math]\varepsilon[/math] [math]\exists[/math] [math]\delta[/math] такое что 0 < x < [math]\delta[/math] причем [math]\left| f(x) - limit \right|[/math] < [math]\varepsilon[/math] где "limit" = значению предела для данной функции ... и дальше оставить доказательство без изменений? |
Автор: | anonim228 [ 05 ноя 2017, 15:50 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
52heartz Не совсем понятны ваши проблемы. Как уже сказано выше, выбор в качестве нужного [math]\delta[/math] как минимума обеспечивает, что 2 неравенства будут выполняться одновременно, так как [math]min(\delta_1,\delta_2) \leqslant \delta_1[/math] и [math]min(\delta_1,\delta_2) \leqslant \delta_2[/math] |
Автор: | Human [ 05 ноя 2017, 16:38 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
[math]\delta_1[/math] получается при применении определения предела к функции [math]f[/math], а [math]\delta_2[/math] - к функции [math]g[/math]. В общем случае это разные числа, то есть никакого единого [math]\delta[/math] у нас пока нет, его нужно строить отдельно, что и сделано в приведенном доказательстве. Пример: функции [math]f(x)=x,\ g(x)=x^2[/math] имеют в нуле предел, равный нулю. Возьмем [math]\varepsilon=0,01[/math]. Тогда определение предела для [math]f[/math] выполняется, например, при [math]\delta=0,01[/math], а для [math]g[/math], например, при [math]\delta=0,1[/math] (проверьте). Как видите, это разные числа. Можно было бы, конечно, во втором случае взять то же [math]\delta[/math], что и в первом, но если мы ничего про [math]f[/math] и [math]g[/math], кроме их пределов, не знаем, то мы такой властью не обладаем. Эти [math]\delta[/math] нам как бы даются свыше. |
Автор: | 52heartz [ 05 ноя 2017, 19:18 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
Human писал(а): В общем случае это разные числа, то есть никакого единого δ δ у нас пока нет Ваш пример отлично проясняет ситуацию. Минимизация [math]\delta[/math] позволяет сохранить оба неравенства в силе. Но когда я размышляю о самом доказательстве, то это кажется лишним. Достаточно того факта, что [math]\varepsilon[/math] - известна. Каждому [math]\varepsilon[/math] соответствует свое, строго определенное [math]\delta[/math]. Тогда почему я не могу быть уверен, что "свыше" нам будет обеспечено и новое [math]\delta[/math]? Иными словами, мой вопрос не столько в том, каков физический смысл минимизации, а в том, нужно ли заботиться о новом значении [math]\delta[/math] по ходу доказательства? Является ли этот шаг обязательным, или его можно просто "перепрыгнуть", полагаясь на "свыше", где чудесным образом находятся [math]\delta[/math] соответсвующие известным [math]\varepsilon[/math]? |
Автор: | michel [ 05 ноя 2017, 19:43 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
Исходные дельты не даны "чудесным образом свыше", а заданы (только их существование!) условием, что исходные два выражения сходятся к определенным пределам в одной заданной точке для любого достаточно малого заданного эпсилон. При этом нам не важна конкретная зависимость дельта от эпсилон, она уже как бы подразумевается но не свыше, а условием доказываемого утверждения. Конечно, можно заново доказать наличие предела, но тогда потребуются конкретные выражения для исходных функций, которые на самом деле не заданы. |
Автор: | Human [ 05 ноя 2017, 21:27 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
52heartz Давайте Вы полностью напишите свой вариант доказательства, а мы уже его посмотрим и оценим. Ваше последнее сообщение мне абсолютно непонятно. И да, когда я говорил, что [math]\delta_1(\varepsilon)[/math] и [math]\delta_2(\varepsilon)[/math] заданы свыше, я имел в виду как раз то, о чем сейчас написал michel: они заданы условиями теоремы (существование пределов для обоих функций), а не нами, и поэтому мы не знаем их конкретных зависимостей от [math]\varepsilon[/math]. Никаких других "дельт" у нас нет, мы можем оперировать только с [math]\delta_1(\varepsilon)[/math] и [math]\delta_2(\varepsilon)[/math]. |
Автор: | 52heartz [ 05 ноя 2017, 23:06 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
Окей. Мой ход мыслей. По условию нам даны дву ф-ции f(x), g(x). lim f(x) = K, при x -> a. lim g(x) = B при все том же x -> a. Мы так же вправе рассматривать [math]\delta[/math] как функцию от [math]\varepsilon[/math]. Это означает в точности следующее: мы вправе выбирать прозвольную положительную [math]\varepsilon[/math], будучи уверенны, что ей соответствует некоторое положительное (не суть важно какое именно) значение [math]\delta[/math]. При таком рассмотрении, необходимо доказать, что [math]\left| f(x) + g(x) - (K + B) \right|[/math] < [math]\varepsilon[/math], предполагая, что для [math]\varepsilon[/math] найдется соответствующее ему [math]\delta[/math]. Именно это позволяет нам опустить минимизацию [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math] как это было в том доказательстве: его существование нам просто гарантированно самим условием. А дальше - через неравество треугольника, точно как там. |
Автор: | sergebsl [ 06 ноя 2017, 01:01 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы |
52heartz писал(а): Приветствую, уважаемые. Освежаю в памяти знания о пределах. Вот наткнулся на такое доказательство: Ссылка на источник: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitProofs.aspx, там где "Proof #2". Не могу понять необходимость в том шаге, где выбирается минимальная дельта (если я правильно озвучил эту букву). Зачем этот шаг вообще нужен, если каждому эпсилон соответствует некоторая дельта и наоборот? Почему нельзя просто пропустить этот шаг, предполагая, что для заданного эпсилон такая дельта должна существовать независимо от значений [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math]? Пострадает ли от этого доказательство, станет ли менее "строгим" или вообще несостоятельным? Заранее благодарю. По теореме о вложенных отрезках берётся наименшая из дельт: [math]\min \left\{ δ_1, δ_2 \right\} = δ[/math] |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |