Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=56494
Страница 1 из 2

Автор:  52heartz [ 05 ноя 2017, 12:26 ]
Заголовок сообщения:  Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

Приветствую, уважаемые.

Освежаю в памяти знания о пределах.

Вот наткнулся на такое доказательство:
Изображение
Ссылка на источник: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitProofs.aspx, там где "Proof #2".

Не могу понять необходимость в том шаге, где выбирается минимальная дельта (если я правильно озвучил эту букву). Зачем этот шаг вообще нужен, если каждому эпсилон соответствует некоторая дельта и наоборот? Почему нельзя просто пропустить этот шаг, предполагая, что для заданного эпсилон такая дельта должна существовать независимо от значений [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math]?
Пострадает ли от этого доказательство, станет ли менее "строгим" или вообще несостоятельным?
Заранее благодарю.

Автор:  michel [ 05 ноя 2017, 14:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

Выбирается минимальное дельта из двух для того, чтобы одновременно выполнялись два исходных предела при заданном эпсилон

Автор:  52heartz [ 05 ноя 2017, 14:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

Мне остается неясным, зачем это нужно делать (выбирать минимум), когда каждому [math]\varepsilon[/math] соответствует определенное [math]\delta[/math]? По ходу доказательства [math]\varepsilon[/math] / 2 уже известно. Мой вопрос в том, достаточно ли этого факта для того, чтобы предполагать, что и [math]\varepsilon[/math] * 2 соответствует некоторое другое значение [math]\delta[/math]'? Может ли это освободить от необходимости считаться с [math]\delta[/math] в принципе?

Иначе говоря, мог бы я переписать доказательство следующим образом:
Вместо строки, где выбирается минимум, написать что-то вроде:
по условию [math]\forall[/math] [math]\varepsilon[/math] [math]\exists[/math] [math]\delta[/math]
такое что 0 < x < [math]\delta[/math]
причем [math]\left| f(x) - limit \right|[/math] < [math]\varepsilon[/math]
где "limit" = значению предела для данной функции
... и дальше оставить доказательство без изменений?

Автор:  anonim228 [ 05 ноя 2017, 15:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

52heartz
Не совсем понятны ваши проблемы. Как уже сказано выше, выбор в качестве нужного [math]\delta[/math] как минимума обеспечивает, что 2 неравенства будут выполняться одновременно, так как [math]min(\delta_1,\delta_2) \leqslant \delta_1[/math] и [math]min(\delta_1,\delta_2) \leqslant \delta_2[/math]

Автор:  Human [ 05 ноя 2017, 16:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

[math]\delta_1[/math] получается при применении определения предела к функции [math]f[/math], а [math]\delta_2[/math] - к функции [math]g[/math]. В общем случае это разные числа, то есть никакого единого [math]\delta[/math] у нас пока нет, его нужно строить отдельно, что и сделано в приведенном доказательстве.

Пример: функции [math]f(x)=x,\ g(x)=x^2[/math] имеют в нуле предел, равный нулю. Возьмем [math]\varepsilon=0,01[/math]. Тогда определение предела для [math]f[/math] выполняется, например, при [math]\delta=0,01[/math], а для [math]g[/math], например, при [math]\delta=0,1[/math] (проверьте). Как видите, это разные числа. Можно было бы, конечно, во втором случае взять то же [math]\delta[/math], что и в первом, но если мы ничего про [math]f[/math] и [math]g[/math], кроме их пределов, не знаем, то мы такой властью не обладаем. Эти [math]\delta[/math] нам как бы даются свыше.

Автор:  52heartz [ 05 ноя 2017, 19:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

Human писал(а):
В общем случае это разные числа, то есть никакого единого δ
δ
у нас пока нет

Ваш пример отлично проясняет ситуацию. Минимизация [math]\delta[/math] позволяет сохранить оба неравенства в силе. Но когда я размышляю о самом доказательстве, то это кажется лишним. Достаточно того факта, что [math]\varepsilon[/math] - известна. Каждому [math]\varepsilon[/math] соответствует свое, строго определенное [math]\delta[/math]. Тогда почему я не могу быть уверен, что "свыше" нам будет обеспечено и новое [math]\delta[/math]?

Иными словами, мой вопрос не столько в том, каков физический смысл минимизации, а в том, нужно ли заботиться о новом значении [math]\delta[/math] по ходу доказательства? Является ли этот шаг обязательным, или его можно просто "перепрыгнуть", полагаясь на "свыше", где чудесным образом находятся [math]\delta[/math] соответсвующие известным [math]\varepsilon[/math]?

Автор:  michel [ 05 ноя 2017, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

Исходные дельты не даны "чудесным образом свыше", а заданы (только их существование!) условием, что исходные два выражения сходятся к определенным пределам в одной заданной точке для любого достаточно малого заданного эпсилон. При этом нам не важна конкретная зависимость дельта от эпсилон, она уже как бы подразумевается но не свыше, а условием доказываемого утверждения. Конечно, можно заново доказать наличие предела, но тогда потребуются конкретные выражения для исходных функций, которые на самом деле не заданы.

Автор:  Human [ 05 ноя 2017, 21:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

52heartz
Давайте Вы полностью напишите свой вариант доказательства, а мы уже его посмотрим и оценим. Ваше последнее сообщение мне абсолютно непонятно.

И да, когда я говорил, что [math]\delta_1(\varepsilon)[/math] и [math]\delta_2(\varepsilon)[/math] заданы свыше, я имел в виду как раз то, о чем сейчас написал michel: они заданы условиями теоремы (существование пределов для обоих функций), а не нами, и поэтому мы не знаем их конкретных зависимостей от [math]\varepsilon[/math]. Никаких других "дельт" у нас нет, мы можем оперировать только с [math]\delta_1(\varepsilon)[/math] и [math]\delta_2(\varepsilon)[/math].

Автор:  52heartz [ 05 ноя 2017, 23:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

Окей. Мой ход мыслей.
По условию нам даны дву ф-ции f(x), g(x).
lim f(x) = K, при x -> a.
lim g(x) = B при все том же x -> a.
Мы так же вправе рассматривать [math]\delta[/math] как функцию от [math]\varepsilon[/math]. Это означает в точности следующее: мы вправе выбирать прозвольную положительную [math]\varepsilon[/math], будучи уверенны, что ей соответствует некоторое положительное (не суть важно какое именно) значение [math]\delta[/math].

При таком рассмотрении, необходимо доказать, что
[math]\left| f(x) + g(x) - (K + B) \right|[/math] < [math]\varepsilon[/math],
предполагая, что для [math]\varepsilon[/math] найдется соответствующее ему [math]\delta[/math]. Именно это позволяет нам опустить минимизацию [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math] как это было в том доказательстве: его существование нам просто гарантированно самим условием.

А дальше - через неравество треугольника, точно как там.

Автор:  sergebsl [ 06 ноя 2017, 01:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы

52heartz писал(а):
Приветствую, уважаемые.

Освежаю в памяти знания о пределах.

Вот наткнулся на такое доказательство:
Изображение
Ссылка на источник: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitProofs.aspx, там где "Proof #2".

Не могу понять необходимость в том шаге, где выбирается минимальная дельта (если я правильно озвучил эту букву). Зачем этот шаг вообще нужен, если каждому эпсилон соответствует некоторая дельта и наоборот? Почему нельзя просто пропустить этот шаг, предполагая, что для заданного эпсилон такая дельта должна существовать независимо от значений [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math]?
Пострадает ли от этого доказательство, станет ли менее "строгим" или вообще несостоятельным?
Заранее благодарю.



По теореме о вложенных отрезках берётся наименшая из дельт: [math]\min \left\{ δ_1, δ_2 \right\} = δ[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/