Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 13:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2017, 13:11
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую, уважаемые.

Освежаю в памяти знания о пределах.

Вот наткнулся на такое доказательство:
Изображение
Ссылка на источник: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitProofs.aspx, там где "Proof #2".

Не могу понять необходимость в том шаге, где выбирается минимальная дельта (если я правильно озвучил эту букву). Зачем этот шаг вообще нужен, если каждому эпсилон соответствует некоторая дельта и наоборот? Почему нельзя просто пропустить этот шаг, предполагая, что для заданного эпсилон такая дельта должна существовать независимо от значений [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math]?
Пострадает ли от этого доказательство, станет ли менее "строгим" или вообще несостоятельным?
Заранее благодарю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 15:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1564
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
565 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выбирается минимальное дельта из двух для того, чтобы одновременно выполнялись два исходных предела при заданном эпсилон

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 15:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2017, 13:11
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне остается неясным, зачем это нужно делать (выбирать минимум), когда каждому [math]\varepsilon[/math] соответствует определенное [math]\delta[/math]? По ходу доказательства [math]\varepsilon[/math] / 2 уже известно. Мой вопрос в том, достаточно ли этого факта для того, чтобы предполагать, что и [math]\varepsilon[/math] * 2 соответствует некоторое другое значение [math]\delta[/math]'? Может ли это освободить от необходимости считаться с [math]\delta[/math] в принципе?

Иначе говоря, мог бы я переписать доказательство следующим образом:
Вместо строки, где выбирается минимум, написать что-то вроде:
по условию [math]\forall[/math] [math]\varepsilon[/math] [math]\exists[/math] [math]\delta[/math]
такое что 0 < x < [math]\delta[/math]
причем [math]\left| f(x) - limit \right|[/math] < [math]\varepsilon[/math]
где "limit" = значению предела для данной функции
... и дальше оставить доказательство без изменений?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 16:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 16:13
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
31 раз в 31 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
52heartz
Не совсем понятны ваши проблемы. Как уже сказано выше, выбор в качестве нужного [math]\delta[/math] как минимума обеспечивает, что 2 неравенства будут выполняться одновременно, так как [math]min(\delta_1,\delta_2) \leqslant \delta_1[/math] и [math]min(\delta_1,\delta_2) \leqslant \delta_2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 17:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3980
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1768 раз в 1473 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\delta_1[/math] получается при применении определения предела к функции [math]f[/math], а [math]\delta_2[/math] - к функции [math]g[/math]. В общем случае это разные числа, то есть никакого единого [math]\delta[/math] у нас пока нет, его нужно строить отдельно, что и сделано в приведенном доказательстве.

Пример: функции [math]f(x)=x,\ g(x)=x^2[/math] имеют в нуле предел, равный нулю. Возьмем [math]\varepsilon=0,01[/math]. Тогда определение предела для [math]f[/math] выполняется, например, при [math]\delta=0,01[/math], а для [math]g[/math], например, при [math]\delta=0,1[/math] (проверьте). Как видите, это разные числа. Можно было бы, конечно, во втором случае взять то же [math]\delta[/math], что и в первом, но если мы ничего про [math]f[/math] и [math]g[/math], кроме их пределов, не знаем, то мы такой властью не обладаем. Эти [math]\delta[/math] нам как бы даются свыше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
52heartz
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 20:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2017, 13:11
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
В общем случае это разные числа, то есть никакого единого δ
δ
у нас пока нет

Ваш пример отлично проясняет ситуацию. Минимизация [math]\delta[/math] позволяет сохранить оба неравенства в силе. Но когда я размышляю о самом доказательстве, то это кажется лишним. Достаточно того факта, что [math]\varepsilon[/math] - известна. Каждому [math]\varepsilon[/math] соответствует свое, строго определенное [math]\delta[/math]. Тогда почему я не могу быть уверен, что "свыше" нам будет обеспечено и новое [math]\delta[/math]?

Иными словами, мой вопрос не столько в том, каков физический смысл минимизации, а в том, нужно ли заботиться о новом значении [math]\delta[/math] по ходу доказательства? Является ли этот шаг обязательным, или его можно просто "перепрыгнуть", полагаясь на "свыше", где чудесным образом находятся [math]\delta[/math] соответсвующие известным [math]\varepsilon[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 20:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1564
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
565 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исходные дельты не даны "чудесным образом свыше", а заданы (только их существование!) условием, что исходные два выражения сходятся к определенным пределам в одной заданной точке для любого достаточно малого заданного эпсилон. При этом нам не важна конкретная зависимость дельта от эпсилон, она уже как бы подразумевается но не свыше, а условием доказываемого утверждения. Конечно, можно заново доказать наличие предела, но тогда потребуются конкретные выражения для исходных функций, которые на самом деле не заданы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2017, 22:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3980
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1768 раз в 1473 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
52heartz
Давайте Вы полностью напишите свой вариант доказательства, а мы уже его посмотрим и оценим. Ваше последнее сообщение мне абсолютно непонятно.

И да, когда я говорил, что [math]\delta_1(\varepsilon)[/math] и [math]\delta_2(\varepsilon)[/math] заданы свыше, я имел в виду как раз то, о чем сейчас написал michel: они заданы условиями теоремы (существование пределов для обоих функций), а не нами, и поэтому мы не знаем их конкретных зависимостей от [math]\varepsilon[/math]. Никаких других "дельт" у нас нет, мы можем оперировать только с [math]\delta_1(\varepsilon)[/math] и [math]\delta_2(\varepsilon)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2017, 00:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2017, 13:11
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Окей. Мой ход мыслей.
По условию нам даны дву ф-ции f(x), g(x).
lim f(x) = K, при x -> a.
lim g(x) = B при все том же x -> a.
Мы так же вправе рассматривать [math]\delta[/math] как функцию от [math]\varepsilon[/math]. Это означает в точности следующее: мы вправе выбирать прозвольную положительную [math]\varepsilon[/math], будучи уверенны, что ей соответствует некоторое положительное (не суть важно какое именно) значение [math]\delta[/math].

При таком рассмотрении, необходимо доказать, что
[math]\left| f(x) + g(x) - (K + B) \right|[/math] < [math]\varepsilon[/math],
предполагая, что для [math]\varepsilon[/math] найдется соответствующее ему [math]\delta[/math]. Именно это позволяет нам опустить минимизацию [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math] как это было в том доказательстве: его существование нам просто гарантированно самим условием.

А дальше - через неравество треугольника, точно как там.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не вполне понимаю ход доказательства о пределе суммы
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2017, 02:01 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 03:33
Сообщений: 1573
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
203 раз в 197 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
52heartz писал(а):
Приветствую, уважаемые.

Освежаю в памяти знания о пределах.

Вот наткнулся на такое доказательство:
Изображение
Ссылка на источник: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitProofs.aspx, там где "Proof #2".

Не могу понять необходимость в том шаге, где выбирается минимальная дельта (если я правильно озвучил эту букву). Зачем этот шаг вообще нужен, если каждому эпсилон соответствует некоторая дельта и наоборот? Почему нельзя просто пропустить этот шаг, предполагая, что для заданного эпсилон такая дельта должна существовать независимо от значений [math]\delta 1[/math] и [math]\delta 2[/math]?
Пострадает ли от этого доказательство, станет ли менее "строгим" или вообще несостоятельным?
Заранее благодарю.



По теореме о вложенных отрезках берётся наименшая из дельт: [math]\min \left\{ δ_1, δ_2 \right\} = δ[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Не понимаю доказательства теоремы-дифференцируемость функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Neznaika1981

2

78

12 фев 2017, 01:51

О пределе

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

4eloveck

1

125

16 янв 2013, 21:01

О пределе последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kosta

1

62

31 окт 2016, 13:36

Ошибка в пределе

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kuzya

6

247

14 дек 2012, 00:07

Даны частичные суммы, записать ряды и найти суммы

в форуме Ряды

DeusEx

4

385

05 мар 2014, 16:18

Неопределённость в пределе.Квадратный корень

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

IGAGGA

0

157

29 окт 2014, 19:00

Вполне упорядоченное множество и его порядковый тип

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

knn

1

69

10 май 2016, 20:24

Доказать, что множество вполне ограничено

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vestvud

3

499

31 дек 2012, 00:48

Деление на 5 - не вполне понятно решение с остатками

в форуме Алгебра

afraumar

1

236

22 авг 2013, 18:38

Плотное подмножество вполне ограниченного множества

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Vitalina

15

1065

20 ноя 2013, 09:17


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved