Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Непрерывная функция
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=56348
Страница 1 из 1

Автор:  Derevyashka [ 28 окт 2017, 20:43 ]
Заголовок сообщения:  Непрерывная функция

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, как в кванторах записать, что функция не является непрерывной?

Автор:  Ellipsoid [ 28 окт 2017, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Непрерывная функция

Сначала запишите определение непрерывной функции, а потом постройте его отрицание.

Автор:  sergebsl [ 28 окт 2017, 21:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Непрерывная функция

Функция f:X→R^m, где X⊂R^n, называется непрерывной в точке x^0∈X, если для любого ε>0 существует такое δ=δ(ε)>0, что для всех x∈X, удовлетворяющих условию ρ_n(x,x^0)<δ, выполняется неравенство ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.

В кванторах:

∀ε>0∃δ=δ(ε)>0∀x∈X:ρ_n(x,x^0)<δ⇒ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.

Это определение непрерывности функции в точке х^0

δ-окрестность точки х^0: ρ_n(x,x^0)<δ = |x - x^0| < δ
ε-окрестность f(x^0): ρ_m(f(x),f(x^0))<ε = |f(x) _ f(x^0)| < ε

Нарушение непрерывности функции:

∀ε>0∃δ=δ(ε)>0∀x∈X: ρ_n(x,x^0)<δ ⇏ ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.

Автор:  Derevyashka [ 29 окт 2017, 07:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Непрерывная функция

Спасибо большое. Только скажите, что означает ρ_n?
sergebsl писал(а):
Функция f:X→R^m, где X⊂R^n, называется непрерывной в точке x^0∈X, если для любого ε>0 существует такое δ=δ(ε)>0, что для всех x∈X, удовлетворяющих условию ρ_n(x,x^0)<δ, выполняется неравенство ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.

В кванторах:

∀ε>0∃δ=δ(ε)>0∀x∈X:ρ_n(x,x^0)<δ⇒ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.

Это определение непрерывности функции в точке х^0

δ-окрестность точки х^0: ρ_n(x,x^0)<δ = |x - x^0| < δ
ε-окрестность f(x^0): ρ_m(f(x),f(x^0))<ε = |f(x) _ f(x^0)| < ε

Нарушение непрерывности функции:

∀ε>0∃δ=δ(ε)>0∀x∈X: ρ_n(x,x^0)<δ ⇏ ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.

Автор:  sergebsl [ 29 окт 2017, 11:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Непрерывная функция

обозначение нижнего "_n", "_m" индекса

"^0" Ноль в верхнем индексе

[math]∀ε>0∃δ=δ(ε)>0∀x∈X: ρ_n(x,x^0)<δ ⇏ ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.[/math]

Автор:  sergebsl [ 29 окт 2017, 12:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Непрерывная функция

Функция [math]f^X→R^m[/math], где [math]X⊂R^n[/math], называется непрерывной в точке [math]x^0∈X[/math], если для любого [math]ε>0[/math] существует такое [math]δ=δ(ε)>0[/math], что для всех [math]x∈X[/math], удовлетворяющих условию [math]ρ_n(x,x^0)<δ[/math], выполняется неравенство [math]ρ_m(f(x),f(x^0))<ε[/math].

В кванторах:

[math]∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x∈X^ ρ_n(x,x^0)<δ⇒ρ_m(f(x),f(x^0))<ε[/math].

Это определение непрерывности функции в точке х^0

[math]U_δ(x^0) = ρ_n(x,x^0)<δ = |x - x^0| < δ,[/math]

[math]U_ε(f(x^0)) = ρ_m(f(x),f(x^0))<ε = |f(x) - f(x^0)| < ε[/math]

Нарушение непрерывности функции:

[math]∀ε>0∃δ=δ(ε)>0∀x∈X^ ρ_n(x,x^0)<δ ⇏ ρ_m(f(x),f(x^0))<ε.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/