Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел отношения суммы к числу членов последовательности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=56285
Страница 1 из 1

Автор:  Kektus [ 25 окт 2017, 18:21 ]
Заголовок сообщения:  Предел отношения суммы к числу членов последовательности

Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math].
Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет(

Автор:  Radley [ 25 окт 2017, 18:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел суммы членов последовательности

Это видно по матиндукции.

Автор:  sergebsl [ 25 окт 2017, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел суммы членов последовательности

Если сходится предел частичных сумм, то и сходится и ваша сумма

Автор:  Andy [ 25 окт 2017, 19:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел суммы членов последовательности

Radley писал(а):
Это видно по матиндукции.

Индукции по какой базе?

Автор:  Kektus [ 25 окт 2017, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел суммы членов последовательности

[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Автор:  Andy [ 25 окт 2017, 20:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел суммы членов последовательности

Kektus писал(а):
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Это общий член последовательности.

Автор:  Kektus [ 25 окт 2017, 20:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел суммы членов последовательности

Andy писал(а):
Kektus писал(а):
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Это общий член последовательности.

ну, да

Автор:  sergebsl [ 25 окт 2017, 20:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел суммы членов последовательности

Kektus писал(а):
Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math].
Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет(



Ёлки, да тут всё очень просто!


[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math]

Автор:  Space [ 25 окт 2017, 21:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел отношения суммы к числу членов последовательности

sergebsl писал(а):

Ёлки, да тут всё очень просто!


[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math]

Как это понимать?

Все не так уж просто. Это следствие теоремы Штольца. Есть у Фихтенгольца.

Но можно и в лоб доказать. Пусть [math]N[/math] таково, что при [math]n >
N[/math]
выполнено [math]\left| a - a_n \right| < \varepsilon[/math]. Тогда [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} - a \right| = \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| =[/math]
[math]=\left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} + \frac{(a_{N+1} - a) + (a_{N+2} - a) + (a_{N+3} - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| \leqslant[/math]
[math]\leqslant \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} \right| + \frac{\left| a_{N+1} - a \right| + \left| a_{N+2} - a \right| + \left| a_{N+3} - a \right| + \dots + \left| a_n - a \right| }{n} <[/math]
[math]< \frac{c}{n} + \frac{(n - N) \cdot \varepsilon }{n} < \frac{c}{n} + \varepsilon[/math], где [math]c = \left| (a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a) \right| = const[/math]. При [math]n > \frac{c}{ \varepsilon }[/math] получаем [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}- a \right| < 2 \varepsilon[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/