Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Предел отношения суммы к числу членов последовательности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=56285 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Kektus [ 25 окт 2017, 18:21 ] |
Заголовок сообщения: | Предел отношения суммы к числу членов последовательности |
Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]. Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет( |
Автор: | Radley [ 25 окт 2017, 18:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел суммы членов последовательности |
Это видно по матиндукции. |
Автор: | sergebsl [ 25 окт 2017, 19:04 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел суммы членов последовательности |
Если сходится предел частичных сумм, то и сходится и ваша сумма |
Автор: | Andy [ 25 окт 2017, 19:56 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел суммы членов последовательности |
Radley писал(а): Это видно по матиндукции. Индукции по какой базе? |
Автор: | Kektus [ 25 окт 2017, 20:03 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел суммы членов последовательности |
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма. |
Автор: | Andy [ 25 окт 2017, 20:05 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел суммы членов последовательности |
Kektus писал(а): [math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма. Это общий член последовательности. |
Автор: | Kektus [ 25 окт 2017, 20:08 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел суммы членов последовательности |
Andy писал(а): Kektus писал(а): [math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма. Это общий член последовательности. ну, да |
Автор: | sergebsl [ 25 окт 2017, 20:17 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел суммы членов последовательности |
Kektus писал(а): Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]. Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет( Ёлки, да тут всё очень просто! [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math] [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math] |
Автор: | Space [ 25 окт 2017, 21:57 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Предел отношения суммы к числу членов последовательности |
sergebsl писал(а): Ёлки, да тут всё очень просто! [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math] [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math] Как это понимать? Все не так уж просто. Это следствие теоремы Штольца. Есть у Фихтенгольца. Но можно и в лоб доказать. Пусть [math]N[/math] таково, что при [math]n > N[/math] выполнено [math]\left| a - a_n \right| < \varepsilon[/math]. Тогда [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} - a \right| = \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| =[/math] [math]=\left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} + \frac{(a_{N+1} - a) + (a_{N+2} - a) + (a_{N+3} - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| \leqslant[/math] [math]\leqslant \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} \right| + \frac{\left| a_{N+1} - a \right| + \left| a_{N+2} - a \right| + \left| a_{N+3} - a \right| + \dots + \left| a_n - a \right| }{n} <[/math] [math]< \frac{c}{n} + \frac{(n - N) \cdot \varepsilon }{n} < \frac{c}{n} + \varepsilon[/math], где [math]c = \left| (a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a) \right| = const[/math]. При [math]n > \frac{c}{ \varepsilon }[/math] получаем [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}- a \right| < 2 \varepsilon[/math]. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |