Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Kektus |
|
|
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]. Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет( |
||
Вернуться к началу | ||
Radley |
|
|
Это видно по матиндукции.
|
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
Если сходится предел частичных сумм, то и сходится и ваша сумма
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Radley писал(а): Это видно по матиндукции. Индукции по какой базе? |
||
Вернуться к началу | ||
Kektus |
|
|
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Kektus писал(а): [math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма. Это общий член последовательности. |
||
Вернуться к началу | ||
Kektus |
|
|
Andy писал(а): Kektus писал(а): [math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма. Это общий член последовательности. ну, да |
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
Kektus писал(а): Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]. Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет( Ёлки, да тут всё очень просто! [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math] [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
sergebsl писал(а): Ёлки, да тут всё очень просто! [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math] [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math] Как это понимать? Все не так уж просто. Это следствие теоремы Штольца. Есть у Фихтенгольца. Но можно и в лоб доказать. Пусть [math]N[/math] таково, что при [math]n > N[/math] выполнено [math]\left| a - a_n \right| < \varepsilon[/math]. Тогда [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} - a \right| = \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| =[/math] [math]=\left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} + \frac{(a_{N+1} - a) + (a_{N+2} - a) + (a_{N+3} - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| \leqslant[/math] [math]\leqslant \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} \right| + \frac{\left| a_{N+1} - a \right| + \left| a_{N+2} - a \right| + \left| a_{N+3} - a \right| + \dots + \left| a_n - a \right| }{n} <[/math] [math]< \frac{c}{n} + \frac{(n - N) \cdot \varepsilon }{n} < \frac{c}{n} + \varepsilon[/math], где [math]c = \left| (a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a) \right| = const[/math]. При [math]n > \frac{c}{ \varepsilon }[/math] получаем [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}- a \right| < 2 \varepsilon[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: Andy, Kektus |
||
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |