Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел отношения суммы к числу членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 18:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2017, 18:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math].
Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 18:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2657
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
538 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это видно по матиндукции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 19:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если сходится предел частичных сумм, то и сходится и ваша сумма

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 19:56 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Это видно по матиндукции.

Индукции по какой базе?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 20:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2017, 18:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 20:05 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kektus писал(а):
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Это общий член последовательности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 20:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2017, 18:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Kektus писал(а):
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Это общий член последовательности.

ну, да

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 20:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kektus писал(а):
Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math].
Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет(



Ёлки, да тут всё очень просто!


[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел отношения суммы к числу членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 21:57 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sergebsl писал(а):

Ёлки, да тут всё очень просто!


[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math]

Как это понимать?

Все не так уж просто. Это следствие теоремы Штольца. Есть у Фихтенгольца.

Но можно и в лоб доказать. Пусть [math]N[/math] таково, что при [math]n >
N[/math]
выполнено [math]\left| a - a_n \right| < \varepsilon[/math]. Тогда [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} - a \right| = \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| =[/math]
[math]=\left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} + \frac{(a_{N+1} - a) + (a_{N+2} - a) + (a_{N+3} - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| \leqslant[/math]
[math]\leqslant \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} \right| + \frac{\left| a_{N+1} - a \right| + \left| a_{N+2} - a \right| + \left| a_{N+3} - a \right| + \dots + \left| a_n - a \right| }{n} <[/math]
[math]< \frac{c}{n} + \frac{(n - N) \cdot \varepsilon }{n} < \frac{c}{n} + \varepsilon[/math], где [math]c = \left| (a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a) \right| = const[/math]. При [math]n > \frac{c}{ \varepsilon }[/math] получаем [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}- a \right| < 2 \varepsilon[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Andy, Kektus
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти формулу для суммы n членов ряда

в форуме Ряды

igg87

16

697

14 июн 2015, 07:30

Вычислить первые десять членов последовательности с точность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rorchax

7

726

18 фев 2015, 11:05

Вычислить первые десять членов последовательности с точность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rorchax

1

287

18 фев 2015, 11:08

Нулевая сума только всех членов последовательности

в форуме Палата №6

ivashenko

7

452

01 окт 2018, 20:01

составить формулу для суммы последовательности

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

tamazzzi

5

430

01 мар 2017, 16:49

Предел отношения определённых интегралов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

e7min

2

292

02 июн 2019, 21:12

Предел отношения показательных функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Arno

6

839

19 сен 2014, 19:03

Предел отношения функций в многомерном пространстве

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Derevyashka

0

227

24 дек 2017, 11:05

Предел отношения разности f(x) и f'(x) справа и слева от x0

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sibedir

4

69

06 янв 2024, 20:33

Предел отношения двух натуральных логарифмов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vas60005596

2

1021

18 ноя 2014, 21:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved