Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел отношения суммы к числу членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 19:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2017, 19:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math].
Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 19:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1387
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
272 раз в 265 сообщениях
Очков репутации: 99

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это видно по матиндукции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 20:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 03:33
Сообщений: 2259
Cпасибо сказано: 157
Спасибо получено:
288 раз в 279 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если сходится предел частичных сумм, то и сходится и ваша сумма

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 20:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 16297
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1125
Спасибо получено:
3568 раз в 3295 сообщениях
Очков репутации: 675

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Это видно по матиндукции.

Индукции по какой базе?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 21:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2017, 19:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 21:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 16297
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1125
Спасибо получено:
3568 раз в 3295 сообщениях
Очков репутации: 675

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kektus писал(а):
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Это общий член последовательности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 21:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2017, 19:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Kektus писал(а):
[math]a_n[/math] — это сама последовательность, а не частичная или полная сумма.

Это общий член последовательности.

ну, да

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел суммы членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 21:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 03:33
Сообщений: 2259
Cпасибо сказано: 157
Спасибо получено:
288 раз в 279 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kektus писал(а):
Пусть [math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/math]. Докажите, что
[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math].
Help. А то совсем никаких идей, как кроме использовать частные случаи нет(



Ёлки, да тут всё очень просто!


[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел отношения суммы к числу членов последовательности
СообщениеДобавлено: 25 окт 2017, 22:57 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 526
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
167 раз в 155 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sergebsl писал(а):

Ёлки, да тут всё очень просто!


[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} = a[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Rightarrow \frac{ na }{ n} = a[/math]

Как это понимать?

Все не так уж просто. Это следствие теоремы Штольца. Есть у Фихтенгольца.

Но можно и в лоб доказать. Пусть [math]N[/math] таково, что при [math]n >
N[/math]
выполнено [math]\left| a - a_n \right| < \varepsilon[/math]. Тогда [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} - a \right| = \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| =[/math]
[math]=\left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} + \frac{(a_{N+1} - a) + (a_{N+2} - a) + (a_{N+3} - a) + \dots + (a_n - a)}{n} \right| \leqslant[/math]
[math]\leqslant \left| \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a)}{n} \right| + \frac{\left| a_{N+1} - a \right| + \left| a_{N+2} - a \right| + \left| a_{N+3} - a \right| + \dots + \left| a_n - a \right| }{n} <[/math]
[math]< \frac{c}{n} + \frac{(n - N) \cdot \varepsilon }{n} < \frac{c}{n} + \varepsilon[/math], где [math]c = \left| (a_1 - a) + (a_2 - a) + (a_3 - a) + \dots + (a_N - a) \right| = const[/math]. При [math]n > \frac{c}{ \varepsilon }[/math] получаем [math]\left| \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}- a \right| < 2 \varepsilon[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Andy, Kektus
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти формулу для суммы n членов ряда

в форуме Ряды

igg87

16

471

14 июн 2015, 08:30

Перестановка членов последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Free Dreamer

1

357

21 мар 2013, 17:48

Вычислить первые десять членов последовательности с точность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rorchax

7

216

18 фев 2015, 12:05

Вычислить первые десять членов последовательности с точность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rorchax

1

119

18 фев 2015, 12:08

составить формулу для суммы последовательности

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

tamazzzi

5

215

01 мар 2017, 17:49

Предел отношения показательных функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Arno

6

427

19 сен 2014, 20:03

Предел отношения функций в многомерном пространстве

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Derevyashka

0

46

24 дек 2017, 12:05

Предел отношения двух натуральных логарифмов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vas60005596

2

612

18 ноя 2014, 22:31

Найти предел суммы

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

ANTON255200

1

291

07 дек 2013, 19:35

Найти предел тригонометрической суммы

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

progphp

8

223

26 май 2015, 10:08


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: alekscooper и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved