Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти функцию зная асимптоты и пределы English
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=55891
Страница 1 из 1

Автор:  Raliyev [ 01 окт 2017, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Найти функцию зная асимптоты и пределы English

Изображение
Затруднения с а) пунктом и как следствие с последующими. Буду признателен за помощь!

Автор:  Human [ 01 окт 2017, 20:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти функцию зная асимптоты и пределы English

[math]f[/math] может иметь особенности только в нулях знаменателя. Если учесть, что знаменатель является квадратичной функцией, то для [math]Q(x)[/math] возможен только один вариант (с точностью до постоянного множителя). А если учесть еще и тип одной из особенностей, то кое-что можно сказать и про [math]P(x)[/math]. Так что про [math]f[/math] известно все, кроме двух констант, которые находятся из условия b).

Автор:  Kirill1986 [ 02 окт 2017, 07:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти функцию зная асимптоты и пределы English

a) Пусть [math]P\left( x \right)=a_{1}x^{2}+b_{1}x +c_{1}=a_{1}\left( x-x_{11} \right)\left( x-x_{12} \right)[/math], [math]Q\left( x \right)=a_{2}x^{2}+b_{2}x +c_{2}=a_{2}\left( x-x_{21} \right)\left( x-x_{22} \right)[/math]. Наличие устранимого разрыва указывает на существование общего корня у многочленов [math]P\left( x \right)[/math] и [math]Q\left( x \right)[/math], т. к. в противном случае у функции [math]f\left( x \right)=\frac{ P\left( x \right) }{ Q\left( x \right) }[/math] была бы еще одна вертикальная асимптота. Итак, [math]x_{11}=x_{21}=4[/math]. Точка разрыва второго рода (в которой у [math]f\left( x \right)[/math] асимптота) - это второй корень многочлена [math]Q\left( x \right)[/math]: [math]x_{22}=-2[/math]. Итак, [math]Q\left( x \right)=a_{2}\left( x-4 \right)\left( x+2 \right)[/math], где [math]a_{2} \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}[/math] - произвольное вещественное число, отличное от нуля.

b) [math]\left( \left( f\left( 2 \right)=0 \right) \to \left( P\left( 2 \right)=0 \land Q\left( 2 \right) \ne 0 \right) \right)[/math]. Значит, [math]x_{12}=2[/math] - второй корень многочлена [math]P\left( x \right)[/math]. Значит, [math]P\left( x \right)=a_{1}\left( x-4 \right)\left( x-2 \right)[/math], где [math]a_{1} \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}[/math] - произвольное вещественное число, отличное от нуля. Функция [math]f\left( x \right)=\frac{ a_{1} }{ a_{2}}\frac{ \left( x-4 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-4 \right)\left( x+2 \right) }[/math]. [math]\left( \left( \lim_{x \to 4}f\left( x \right) =2 \right) \to \left( -\frac{ 1 }{ 3 } \frac{ a_{1} }{ a_{2} }=2 \right) \to \left( \frac{ a_{1} }{ a_{2} }=-6 \right) \right)[/math]. Итак, [math]f\left( x \right)=-6\frac{ \left( x-4 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-4 \right)\left( x+2 \right) }[/math]. N. B. На [math]\left( x-4 \right)[/math] сокращать нельзя, дабы [math]f\left( x \right)[/math] не потеряла устранимый разрыв при [math]x=4[/math].

с) Это тривиально: [math]\lim_{x \to +\infty }f\left( x \right) =\lim_{x \to -\infty }f\left( x \right) =-6[/math].

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 17:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти функцию зная асимптоты и пределы English

Кажется, ошибся децл :) [math]\frac{ a_{1} }{ a_{2} }=6[/math], а не [math]-6[/math]. Соответственно, в с) пределы равны [math]6[/math], а не [math]-6[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/