Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=55680
Страница 1 из 1

Автор:  Raliyev [ 15 сен 2017, 23:57 ]
Заголовок сообщения:  Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Изображение
Пожалуйста объясните методы решения. Спасибо!

Автор:  swan [ 16 сен 2017, 00:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Сами то что думаете? Уж по крайней мере, первая задача не требует особых знаний, только аккуратный счёт.

Автор:  Raliyev [ 16 сен 2017, 01:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Swan, problem №2 разрешил сам. Насчет первой смутные догадки... Не могу понять о каком лимите идет речь, если площадь треугольников обозначена.

Автор:  Booker48 [ 16 сен 2017, 02:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Raliyev
речь о том, что [math]s_n[/math] меняется в зависимости от [math]n[/math].

Автор:  Raliyev [ 17 сен 2017, 15:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Это понятно, но ведь оно будет всегда стремиться к бесконечности или я в чем-то ошибаюсь?

Автор:  Raliyev [ 17 сен 2017, 15:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Пожалуйста опишите ход решения для Problem№1

Автор:  swan [ 17 сен 2017, 16:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Raliyev писал(а):
Это понятно, но ведь оно будет всегда стремиться к бесконечности или я в чем-то ошибаюсь?

Что оно будет стремиться?

Автор:  Intube [ 17 сен 2017, 17:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

А как решать 2 задачу?

Автор:  Kirill1986 [ 17 сен 2017, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Raliyev, здравствуйте! Если не секрет, где Вы учитесь? Я сам преподаю физику и математику в СФУ. У нас в "ВУЗе" "наука" уже развалилась к чертовой матери. Приятно, что хоть где-то еще предлагают творческие задачи, да еще и записанные на английском.
Теперь про Ваши задачи. Если прямоугольный треугольник [math]ABC[/math] мысленно дополнить до квадрата, то в нем будет ровно [math]n^{2}[/math] вписанных квадратов. При этом диагональ этого квадрата пересекает внутренности [math]n[/math] квадратов, которые расположены на диагонали. Итого, в треугольнике [math]ABC[/math] ровно [math]\frac{ n^{2}-n }{ 2 }[/math] вписанных квадратов. При этом площадь каждого квадрата равна [math]\frac{ 2S }{ n^{2} }[/math] ([math]2S[/math] - это площадь большого квадрата, до которого мы дополнили [math]\,\triangle\, ABC[/math], [math]n^{2}[/math] - количество маленьких квадратов в большом). Сумма площадей всех вписанных в [math]\,\triangle\, ABC[/math] квадратов равна [math]s_{n}=\frac{ 2S }{ n^{2} }\frac{ n^{2}-n }{ 2 }=S\left( 1-\frac{ 1 }{ n } \right)[/math]. Предел [math]\lim_{n \to \infty }s_{n}=S[/math].
Дальше про круги в треугольнике. Если "идти" вдоль высоты [math]EG[/math] от точки [math]G[/math] к точке [math]E[/math], то мы обнаружим, что количество кругов в каждом следующем слое уменьшается на единицу. Поскольку вдоль стороны [math]DF[/math] уложено [math]n[/math] кругов, то всего в [math]\,\triangle\, DEF[/math] [math]n+\left( n-1 \right) +...+1=\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{ n\left( n+1 \right) }{ 2 }[/math] кругов (использовалась формула суммы членов арифметической прогрессии). Дальше, любая высота в [math]\,\triangle\, DEF[/math] находится из теоремы Пифагора: [math]h=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{ a }{ 2 } \right)^{2} }=\frac{ \sqrt{3} }{ 2 }a[/math] ( [math]a[/math] - сторона [math]\,\triangle\, DEF[/math]). Дальше предлагаю провести биссектрису (она же медиана, и она же высота) из точки [math]D[/math]. Она пересечет центр [math]O[/math] той окружности, с которой она пересечется в первый раз (все точки пересечения с окружностями нумеруем в направлении от точки [math]D[/math] к точке пересечения биссектрисы угла [math]EDF[/math] со стороной [math]EF[/math]). Пусть [math]H[/math] будет точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки [math]O[/math] на сторону [math]DF[/math]. В [math]\,\triangle\, DOH[/math] [math]\angle ODH=30^{\circ}=\frac{ \pi }{ 6 }[/math], сторона [math]DH=r_{n} \cdot \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \pi }{ 6 } \right)=\sqrt{3}r_{n} }[/math] ( [math]r_{n}[/math] - радиус каждого из кругов для того случая, когда на стороне треугольника лежит [math]n[/math] кругов). Далее, [math]DF=DH+r_{n}+\left( n-2 \right)2r_{n}+r_{n}+DH=2r_{n}\left( n-1+\sqrt{3} \right)=a[/math]. Отсюда [math]r_{n}=\frac{ a }{ 2\left( n-1+\sqrt{3} \right) }[/math]Площадь треугольника [math]DEF[/math] равна [math]R=\frac{ 1 }{ 2 }ah=\frac{ \sqrt{3} }{ 4 }a^{2}[/math]. Поэтому [math]a=2\sqrt{\frac{ R }{ \sqrt{3} } }[/math]. Окончательно для [math]r_{n}[/math] получаем следующее выражение: [math]r_{n}=\frac{ 1 }{ n-1+\sqrt{3} } \sqrt{\frac{ R }{ \sqrt{3} } }[/math]. Для [math]c_{n}[/math] получаем: [math]c_{n}=\frac{ n\left( n+1 \right) }{ 2 } \pi r_{n}^{2}=\frac{ \pi R }{ 2\sqrt{3}}\frac{ 1+\frac{ 1 }{ n } }{ 1-\frac{ 1 }{ n }+\frac{ \sqrt{3} }{ n } }[/math]. [math]\lim_{n \to \infty }c_{n}=\frac{ \pi R }{ 2\sqrt{3} }[/math]!!! Обломись интуиция! Я думал, что получится [math]R[/math]! Видимо, здесь зарыта какая-то хитрость... Но при стремлении радиусов шаров к нулю и одновременном увеличении их числа суммарная площадь пустот составляет [math]\left( 1-\frac{ \pi }{ 2\sqrt{3} } \right) \approx 0.0931[/math] площади треугольника (около 9.31%)... Это уже отдельная тема для обсуждения...

Автор:  Raliyev [ 18 сен 2017, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2

Спасибо!!!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/